Теория процентов

1.ТЕОРИЯ ПРОЦЕНТОВ

1.3. Дисконтирование по  сложной ставке процентов

 

 

Дисконтирование по сложной ставке процентов —  процесс, обратный во времени процессу наращения (компаундинга) по сложной  ставке процентов. Если при наращении  изменение первоначальной суммы Рпроисходит дискретно, скачками, в конце очередного периода начисления процентов, то процесс дисконтирования будущей суммы S также происходит скачкообразно, в обратном направлении, со скачком в конце очередного периода дисконтирования. В конце первого периода дисконтирования величина текущей стоимости суммы S равна S/(1+ i_T), в конце второго периода - s/(1+i_T )² и т. д. После п циклов дисконтирования текущая стоимость суммы S равна (ср. с (1.2.1)):                                    

                                                         (1.2.12)

где v  = 1/(1 + i_T) — дисконтный множитель за период Т.

При начислении процентов т раз в году дисконтный множитель за период равен: 

v  = l/(l + i^{m)/m). По аналогии с процессом наращения вводится годовой дисконтный множитель v, что, позволяет записать выражение для текущей стоимости в следующем виде (ср. с (1.2.2), (1.2.3), (1.2.7)):                                    

                                    (1.2.13)

Дисконтирование при непрерывном начислении процентов  также описывается формулой (1.2.13), где время изменяется непрерывно, в отличие от дискретного начисления процентов т раз в год, когда время изменяется дискретно, с шагом 1/т. Очевидно, непрерывная кривая (1.2.13) является огибающей для закона дискретного дисконтирования суммы S при любом числе периодов дисконтирования в году исходя из одинаковой эффективной годовой процентной ставки. 

 

Чтобы единым образом описать приведение суммы к определенному моменту времени, введем, как и в разделе 1.1, множитель приведения, который равен множителю наращения при приведении к будущему моменту времени и дисконтному множителю при приведении к предшествующему (настоящему) моменту времени. Удобно совместить начало шкалы времени с моментом времени, когда задана сумма. Тогда наращению соответствует положительная часть оси времени, а дисконтированию — отрицательная. Множитель приведения для непрерывной процентной ставки можно записать с учетом (1.2.13) в виде                                    

                                        (1.2.13,а)

где s(t) — множитель наращения; v(|t|) — дисконтный множитель. 

 

 

 

Зависимость этого множителя от времени, определяемая формулой (1.2.13,а), приведена на рис. 1.2.3 для годовой нормы доходности 30%.

Номинальная и эффективная  учетные ставки

В тех случаях, когда дисконтирование применяют m раз в году, используют номинальную учетную ставку f. Тогда в каждом периоде, равном 1/т части года, дисконтирование осуществляется по сложной учетной ставке f/m. Процесс дисконтирования по этой сложной учетной ставке т раз в году описывается формулой

,

где N - общее число периодов дисконтирования (N = mn).

Дисконтирование не один, a m раз в году быстрее снижает величину дисконта.

Под эффективной учетной ставкой понимают сложную годовую учетную ставку, эквивалентную (по финансовым результатам) номинальной, применяемой при заданном числе дисконтирований в году т раз.

В соответствии с определением эффективной  учетной ставки найдем ее связь с  номинальной из равенства дисконтных множителей:    из которого следует, что

Отметим, что эффективная  учетная ставка всегда меньше номинальной.

Номинальная и эффективная учетные ставки процентов.

3.7.1. Номинальная  учетная ставка.

 В тех случаях, когда дисконтирование применяют m раз в году, используют номинальную учетную ставку f. Тогда в каждом периоде, равном части года, дисконтирование осуществляется по сложной учетной ставке . Процесс дисконтирования по этой сложной учетной ставке m раз в году описывается формулой:

      (20)

где f- номинальная учетная ставка, N = - общее число периодов дисконтирования.

3.7.2. Эффективная  учетная ставка.

 Под эффективной учетной ставкой понимают сложную годовую учетную ставку, эквивалентную (по финансовым результатам) номинальной, применяемой при заданном числе дисконтирований в году m. Определим ее на основе равенства дисконтных множителей:

           (21)

В свою очередь 

Эффективная учетная ставка во всех случаях, когда m >1, меньше номинальной

Определение срока ссуды и размера процентной ставки.

В ряде практических задач начальная (Р) и конечная (S) суммы заданы контрактом, и требуется определить либо срок платежа, либо процентную ставку, которая в данном случае может служить мерой сравнения с рыночными показателями и характеристикой доходности операции для кредитора. Указанные величины нетрудно найти из исходных формул наращения или дисконтирования. По сути дела, в обоих случаях решается в известном смысле обратная задача.

3.11.1 Срок ссуды.

Рассмотрим задачу расчета срока  ссуды для различных ставок:

а) при наращении по сложной годовой ставке i:

б) при наращении по номинальной ставке процентов m раз в году:

в) при дисконтировании  по сложной учетной ставке d_c :

г) при дисконтировании  по номинальной учетной ставке m раз в году:

д) при наращении по постоянной силе роста:

3.11.2 Расчет  процентных ставок.

 Из тех же исходных формул, что и выше, получим выражения для процентных ставок.

а) при наращении по сложной годовой ставке i:

б) при наращении по номинальной ставке процентов m раз в году:

в) при дисконтировании  по сложной учетной ставке d_c:

г) при дисконтировании  по номинальной учетной ставке m раз в году:

д) при наращении по постоянной силе роста:

Непрерывные проценты.

Начисление процентов  на первоначальный капитал, или дисконтирование  наращенных сумм, может производиться так часто, что этот процесс можно рассматривать как непрерывный. В этом случае используются непрерывные проценты. Суть непрерывных процентов заключается в том, что количество периодов наращения или дисконтирования стремится к бесконечности, а временной интервал между периодами - к нулю.

Непрерывные проценты используются при обосновании и выборе инвестиционных проектов, при количественном финансово-экономическом анализе сложных хозяйственных процессов.

Непрерывное наращение  процентов производится с помощью  особого вида процентной ставки, именуемой силой роста. Сила роста есть относительный прирост наращенной суммы в бесконечно малом промежутке времени, т.е.

Сила роста может  быть постоянной или переменной

Постоянная сила роста.

 Как было показано выше, при дискретном начислении процентов m раз в году по номинальной ставке j наращенная сумма находится как

Чем больше m, тем меньше промежуток между моментами начисления процентов, в пределе при имеем

Если ставку непрерывных процентов (силу роста) обозначить через , то величину наращенной суммы запишем в следующем виде:

      (24)

Сила роста  представляет собой номинальную ставку процентов при . Дисконтирование (математическое) на основе непрерывных процентных ставок осуществляется по формуле

      (25)