Лабораторная работа по дисциплине "Анализ временных рядов"

МИНИСТЕРСТВО образованиЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ государственноЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ учреждениЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«башкирский государственный университет»

 

Институт экономики, финансов и бизнеса

Кафедра макроэкономического развития и государственного управления

 

 

Лабораторная работа

по дисциплине: Анализ временных рядов

 

 

 

 

Выполнила: студентка 3 курса

группа 3.1. А-Э

 

 

Проверила: асс.,

Хайруллина Н.А.

 

 

 

 

 

 

Уфа — 2015

 

Рассмотрим квартальные данные за семь лет (2008-2014) по кредиторской задолженности (в среднем за период, в млрд руб.) и нарисуем их график (рис. 1).

Рис. 1 Квартальные данные кредиторской задолженности

Из графика мы видим, что присутствует тренд, возрастающий со временем. Изучив АКФ и ЧАКФ исходного ряда (рис. 2), можно сделать вывод о наличии тренда и сезонной компоненты.  Периодограмма  (рис. 3) так же свидетельствует о наличии тренда.

Рис. 2 АКФ и ЧАКФ исходного ряда

 

 

 

 

Рис. 3 Периодограмма исходного ряда

ТРЕНД

При оценке непараметрическим методом скользящих средних мы видим, что появляется краевой эффект, а значит данный метод не подходит для дальнейшей работе.

Рис. 4 Исходный ряд и ряд, оцененный методом скользящих средних

Рис. 5 Ряд, после удаления тренда, оцененного методом скользящих средних

Переходим к параметрическим методам оценки тренда.

При оценке тренда с помощью разностей различного порядка можно сделать вывод о том, что тренд не является линейным.

Рис. 6 Разности первого и второго порядка

При оценке тренда с помощью аналитических функций используем формулу x=at3+bt2+ct+d. Как можно увидеть из рисунка 7, все коэффициенты являются значимыми, следовательно, тренд рассчитывается по формуле: x=0,785t3-27,006t2+869,906t+7232,045. Рассчитав по данной формуле тренд, находим ряд без тренда и строим график исходного ряда, тренда и ряда без тренда (рис. 8). Как мы видим, кривая сместилась вниз, не потеряв при этом свою форму, следовательно тренд оценен правильно.

 

 

Рис. 7 Полином третей степени, результат оценки нелинейного тренда

Рис. 8 Исходный ряд, тренд и ряд без тренда

СЕЗОННАЯ КОМОНЕНТА

Как мы видим из графика (рис. 9), а так же АКФ и ЧАКФ (рис.10), в данном ряде присутствует сезонная компонента с периодом 4.

Рис. 9 График ряда без тренда

Рис. 10 АКФ и ЧАКФ ряда без тренда

Для оценки сезонной компоненты используем метод тригонометрических гармоник. Как можно видеть из рисунка 11, при оценке сезонности с помощью формулы xt=62.985*cos(2Pi*t/4)-271.967*sin(2Pi*t/4)-0.003, константа является незначимой, поэтому удаляем ее (рис. 12). Однако, в получившейся формуле (xt=62.985*cos(2Pi*t/4)-271.967*sin(2Pi*t/4)) гармоника косинуса остается незначимой, поэтому удаляем и ее (рис. 13). Таким образом, сезонная компонента оценивается с помощью формулы xt=271.967*sin(2Pi*t/4). Рассчитываем значения сезонной компоненты и ряда без нее, строим график (рис. 14).

Рис. 11 Оценка сезонной компоненты с помощью пары тригонометрических гармоник и константы

Рис. 12 Оценка сезонной компоненты с помощью пары тригонометрических гармоник

Рис. 12 Оценка сезонной компоненты с помощью гармоники синуса

Рис. 13 Значения сезонной компоненты и ряда без нее, а так же графики ряда без тренда, без тренда и сезонности и сезонной компоненты, при оценке методом тригонометрических гармоник

Так же для оценки сезонной компоненты используем метод оценки на основе сезонных индексов (рис 14). Для данного метода следует рассчитать 4 сезонных индекса (поскольку у нас квартальные данные) и затем вычитать индекс каждого квартала из данных ряда без тренда того же квартал всех лет. Как можно увидеть на графике, при оценке данным методом мы правильно удаляем сезонную компоненту, однако поскольку расчеты у нас велись с помощью двух методов, и в обоих случаях сезонная компоненты оценена была верна, то нам нужно выбрать один метод для дальнейшей оценке, и мы выбираем метод оценки тренда с помощью тригонометрических гармоник.

 

 

 

Рис. 14 Данные и график при оценке сезонной компоненты с помощью сезонных индексов

СТАХОСТИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС

Как мы видим на рисунке 15, после оценки и удаления тренда и сезонной компоненты все еще присутствуют случайные величины. Для их оценки используем АКФ и ЧАКФ, чтобы выбрать модель АРСС.

Рис. 15 Ряд без тренда и без сезонности

На рисунке 16 видно, что данные АКФ и ЧАКФ похожи на модель АРСС(1,0) (рис. 17), однако все же сделаем проверку по модели АРСС (2,0).

Рис. 16 АКФ и ЧАКФ ряда без тренда и без сезонности

Рис. 17 Теоретическая модель АРСС (1,0)

Как мы видим на рисунке 18, модель АРСС (2,0) не подходит, поскольку параметр р(2) является незначимым, поэтому удаляем его и проверяем модель АРСС (1,0). Мы видим (рис. 19), что константа остается незначимой, поэтому избавляемся и от нее (рис. 20) и получаем модель АРСС (1,0) без константы, заданную формулой xs=0.675911xst-1+e.

Рис. 18. Модель АРСС (2,0), с константой

Рис. 19. Модель АРСС (1,0), с константой

Рис. 20. Модель АРСС (1,0), без константы

Найдя значения от стохастического случайного процесса, удаляем их и получаем остатки (рис 21), которые не поддаются анализу и прогнозу и не выходят за границы белого шума (рис. 22).

Рис. 21 Данные и графики ряда без тренда и без сезонности, стохастического процесса, оцененного моделью АРСС (1,0) и остатков

Рис. 22 АКФ и ЧАКФ остатков

Рис. 23 Периодограмма остатков

ВЫВОДЫ

В данной работе был проведен анализ квартального показателя кредиторской задолженности на интервале 2008-2014 гг. Для оценки и удаления тренда был использован параметрический метод, согласно которому тренд задан линейной функцией:

x=0,785t3-27,006t2+869,906t+7232,045.

При оценке и удалении сезонности использовался метод тригонометрических гармоник, сезонная компонента была задан и удалена с помощью гармоники синуса:

xt=271.967*sin(2Pi*t/4).

После удаления тренда и сезонности было выявлено, что в получившемся ряде присутствуют случайные величины, которые можно оценить с помощью модели АРСС (1,0).

Конечные остатки находятся в границах белого шума, что говорит что все три компоненты оценены правильно. Хотя периодограмма остатков (рис. 23) отличается от теоретического графика, изменения в значениях периодограммы малы. Поэтому можно признать модель разложения временного ряды на отдельные компоненты адекватной.

 

 

ПРОГНОЗ

Для прогноза будущих значений кредиторской задолженности на следующие 2,5 года (10 кварталов), следует провести прогноз каждой компоненты отдельно, а затем сложить их.

Для прогноза тренда (рис. 24) мы используем формулу: x=0,785t3-27,006t2+869,906t+7232,045.

Поскольку при анализе сезонной компоненты использовался метод тригонометрических гармоник, то при прогнозе сезонности (рис. 25) следует использовать формулу: xt=271.967*sin(2Pi*t/4).

Стохастический процесс (рис. 27) оценивается и прогнозируется с помощью модели АРСС (1,0), его будущие значения даны на рисунке 26.

Остатки не прогнозируется.

Суммируем тренд, сезонную и стохастическую компоненты, рассчитанные на будущие периоды и получаем спрогнозированное значение кредиторской задолженности (рис 28). Однако реальные значения могут немного отличаться, поскольку в прогнозе мы не учитываем остатки, находящиеся в границах белого шума.

В таблице 1 указаны все значения, полученные во время анализа.

 

Рис. 24 Прогноз тренда

Рис. 25 Прогноз сезонной компоненты

Рис. 26 Будущие значения по модели АРСС (1,0)

Рис. 27 Прогноз будущих значений стохастической величины

Рис. 28 Прогноз будущих значений кредиторской задолженности

Таблица 1. Значения, полученные при анализе и прогнозе кредиторской задолженности

Период (t)	Кредиторская задолженность (х)	Тренд (t)	Ряд без тренда (xt=x-t)	Сезонная компонента (s)	Ряд без тренда и без сезонности (xs=x-t-s)	Стохастический случайный процесс (v)	Остатки (u=x-t-s-u)
1	7871	8075,73	-204,730	-271,967	67,236	67,236	0,000
2	8786,3	8870,11	-83,814	0,000	-83,814	-129,260	45,446
3	9667,3	9619,91	47,393	271,967	-224,574	-167,923	-56,651
4	10429,1	10329,82	99,280	0,000	99,280	251,072	-151,792
5	10730	11004,56	-274,562	-271,967	-2,596	-69,700	67,105
6	11792,8	11648,85	143,955	0,000	143,955	145,709	-1,755
7	12833,1	12267,38	565,722	271,967	293,755	196,454	97,301
8	13520	12864,87	655,127	0,000	655,127	456,575	198,552
9	13397,7	13446,04	-48,339	-271,967	223,628	-219,180	442,807
10	13990,5	14015,59	-25,086	0,000	-25,086	-176,239	151,153
11	14645	14578,23	66,774	271,967	-205,192	-188,236	-16,956
12	14865,1	15138,67	-273,567	0,000	-273,567	-134,876	-138,691
13	14931,1	15701,62	-770,522	-271 ,967	-498,556	-313,649	-184,907
14	15642,2	16271,80	-629,600	0,000	-629,600	-292,621	-336,979
15	16684,9	16853,91	-169,012	271,967	-440,978	-15,425	-425,554
16	17412,4	17452,67	-40,267	0,000	-40,267	257,795	-298,062
17	17909,5	18072,78	-163,277	-271,967	108,690	135,907	-27,217
18	19068,6	18718,95	349,649	0,000	349,649	276,184	73,465
19	19726,9	19395,90	331,000	271,967	59,033	-177,298	236,332
20	20602,3	20108,33	493,965	0,000	493,965	454,064	39,901
21	20950,6	20860,97	89,635	-271,967	361,601	27,725	333,876
22	22085,9	21658,50	427,398	0,000	427,398	182,988	244,410
23	22889,6	22505,65	383,945	271,967	111,979	-176,904	288,883
24	23157,2	23407,13	-249,934	0,000	-249,934	-325,622	75,688
25	23531,1	24367,65	-836,551	-271,967	-564,585	-395,651	-168,933
26	25073,1	25391,92	-318,815	0,000	-318,815	62,793	-381,609
27	26858	26484,64	373,362	271,967	101,396	316,887	-215,491
28	27711,4	27650,53	60,872	0,000	60,872	-7,663	68,535
29	28661,77038	28892,59	-	-271,967	-	41,14389	-
30	30246,58960	30218,78	-	0,000	-	27,80960	-
31	31923,01832	31632,26	-	271,967	-	18,79681	-
32	33150,43296	33137,73	-	0,000	-	12,70496	-
33	34476,52991	34739,91	-	-271,967	-	8,58742	-
34	36449,31233	36443,51	-	0,000	-	5,80433	-
35	38529,12472	38253,24	-	271,967	-	3,92321	-
36	40176,45174	40173,8	-	0,000	-	2,65174	-
37	41939,73883	42209,91	-	-271,967	-	1,79234	-
38	44367,49546	44366,28	-	0,000	-	1,21146	-