Финансовая математика коммерческого банка, используемая в расчётах при совершении операций

               Финансовая    математика    коммерческого   банка,

                       используемая в  расчётах при   совершении  операций

Основные  пропорции, характеризующие  простые  проценты,  в  банковской  практике  этот  метод  обычно  применяется  ,если  срок  ссуды  меньше  года:

 

К –капитал  или  заём,

I –процентный платёж  или доход кредитора за  кредит,

р – годовая  процентная  ставка годовая,

g – количество  лет

K(g) -  сумма наращенного капитала или сумма возврата

К(g) = К +  К * р * g  /100;   I =  K * p  * g /100;  отсюда 

 

K :  I  =  100  :  p*g.

          p                                p

i  =  ----- ;        r   =    1+   ----    ;     или    r   =  1  +  i

         100                            100          

 

 

 

1. Простые   проценты:   -р – годовая процентная  ставка; ( напр.: 8  или 4,25 )

                                             -К – сумма вложенного  капитала  (сумма кредита ,ссуды);

           ∑ возвр  -  возвращаемый  капитал ( кредит) вместе  с                                      процентами ;

                                               I  - процент на капитал ( процент за  кредит,ссуду).

                                                                          p                  K           100

∑ возвр   =   К  +  K *p *g /100 ;     K * g  * ----   =   I;     ---   =   ----------  ; тогда        (1)

                                                                         100                 I            p*g

 

        K*p*g                         K*p * m                              K *p * d

I  =  ----------  или      I  =  ------------          или     I  =  ------------     где                           (2)

           100                               1200                                     36000

 

Число  учётных   периодов:

 

g –  число  лет

m – число   месяцев                        K        1200           K             360 00

d – число  дней                               ---  =  -------- ;       ---   =     -----------                             (3)

                                                          I           p * m          I                p * d     

 

.

 

В  мировой  практике 

                                              K * d

                                     I  =   -------- ,          Kd  -  процентное  число , -

                                                  D                  

                                                                       D =  36000 /  p   -    дивизор ( процентный  ключ)

 

 

 

 

 

Расчёт  процентных  платежей

 

K             360 00

---   =     -----------         или    (K – I) :( 36000 – p * d) = I : ( p * d)                                       (4)

  I                p * d 

Из  этой  пропорции  можно  определить  величину  процентного  платежа, по известной  величине  капитала, уменьшенной на  этот  процентный  платёж  !!

 

I =  (K – I )* d / (D – d )                                                                                                          (4а)

     D =  36000 /  p   -    дивизор ( процентный  ключ)

 

 

2.Потребительский   кредит ( по  простой арифметической  прогрессии  банк  начисляет платежи на  остаток долга   ежемесячно).

К, m, p % ; Ежемесячный платёж по  основному долгу : K / m

 

 

                                                                                                        K  * p

Процентный  платёж  в  1-о м  месяце  составит:           I 1 =  -----------

                                                                                                           1200

 

                                                             K            p              K * p            

Во  втором  месяце :   I 2  =  ( K  -   ---  ) * --------   =   -------- * ( 1 -  1/m  )

                                                             m          1200           1200               

 

 

                                               (K – 2*K/m) * p          K * p

В третьем  месяце:      I 3 = ----------------------   = -------- (1 – 2/m)   ………

                                                     1200                       1200

 

В последнем  месяце               ( K – (m -1 )* K/m ) * p         K * p       1

                                      I m =     -----------------------------  =   -------- * -----

                                                               1200                            1200       m

Общий  процент ,т.е.  сумма  всех  платежей  за  весь  срок  кредита  составит:

 

        K * p

I =  --------- * [ 1 + (1 -  1 /m) + (1 – 2 /m) + ( 1 – 3 / m) + ….+ 1 /m  ]     откуда

          1200

        K * p       m            1                         K * p

I =  ---------- * --- ( 1 + --- )   или   I  =  --------- * ( m + 1)   или   I  =  K * k , где

          1200       2            m                         2400

        

         p * ( m +1)

k  =  --------------    - процентный   коэффициент.

            2400

                                                                                                                       K + I

Если  выплаты  производятся  аннуитетами, то  каждый  платёж  a =  -------

                                                                                                                          m

 

 

3.Ломбардный  кредит

 

Залог  от  60   до  80 %  от  залога ( ценные  бумаги, драг .металлы , недвижимость) 

Задачи  банка : расчёт  кредита,  выплат  по  ссудам ,платежей  за  кредит, пеней   и  штрафов .

 

           K * d

  I  =   -------- ,          K *d  -  процентное  число , -

              D                  

                                  D =  36000 /  p   -    дивизор ( процентный  ключ)

 

4.Дисконт  векселя

 

 Kn   - номинал  векселя,

  d      -  число дней  от  момента дисконтирования до  даты  погашения,

  D       - дивизор,  D =  36000 / p ;  p – процентная  ставка,

   I       - дисконт.( скидка) : I  =  Kn *d  /  D,

   Ko    - дисконтированная  величина векселя – величина  учёта

 

 

Дисконтированная  величина  векселя может  быть представлена:

 

 

                                         Kn *d

Ko  =  Kn  -  I  =  Kn  -  ---------           или   Ko  =  Kn  ( 1 -  d / D )

                                             D

                                             

Можно  наоборот  из  дисконтированной  величины  определить  процентный  платёж:

 

         ( Kn  - I )  *d           Ko  *  d

I  =  ---------------   =     ------------

             D – d                      D – d                

 

Номинальная  величина  векселя   по  учётной  может  быть  определена:

 

                       Ko * d                            d

Kn  =  Ko  +  ----------   =  Ko ( 1 +  ------- )

                        D – d                           D – d  

 

 

 

5.Сложные  проценты (процент  на процент  -  капитализация)

 

 

Антисипативный – предварительный  расчёт

Декурсивный  - в конце  периода

5.1.Декурсивный  метод: 

Ко – первоначальный  капитал: используя  формулу  начисления  простых  процентов,

 получим :

В конце  первого  года

 

К1  =  Ко  +  Ко  * р/100  =  Ко ( 1 + р/100)  =  Ко * r  

 

В  конце  каждого  последующего  начисляют простые  проценты  на  предыдущие:

 

                                                                     n

                                              K n  =  Ko * r    ;         r  =  1+ p/100

 

 

Определение  процентной  ставки:       

 

                     n

р =  100 * (  √    Kn / Ko  -  1) 

 

Определение  длительности  расчётного   периода 

 

            log Kn  -  log Ko

n  =  -----------------------------

             log  ( 1  +  p/100)

 

 

Совокупный  сложный  процентный  платёж ( капитализация)  составит:

 

                                        n

I  =  Kn  -  Ko  =  Ko (  r     - 1 )

 

5.2.Антисипативный  метод:

 

Ко =  К1  -  I  =  K1 – K1*q/ 100=  K1(100- q)/100 

Отсюда

 

          Ко*100

К1  = ------------ 

           100 - q

Формула  для  расчёта  капитала   Кn   в конце   n- го  года  составит

                          100       n

Kn  =   Ko (  -----------  )

                       100 - q   

 

  6.Наращивание  и  амортизация   займа

 

 

Наращенный капитал   при  годовом  начислении  сложных  процентов   по ставке р%  через  “n “   лет возрастает  до  величины  Кn

 

                          p       n                                                n

Кn  =  Ко ( 1+ ------ )               или     Кn  =  Ко *  r

                        100

 

Дисконтирование  (уценка)  от времени  капитала  Кn 

 

                       n              Kn                                -n

Ко =  Кn  /   r        =   ---------  =  Kn ( 1 +  i  )

                                     r ^n

 

Типовая  задача  по  аккумуляции  вкладов  :

 Заёмщик  делает    ежегодный  (  для  простоты)  вклад   «a»  рублей  для  накопления   некоторого  необходимого   в  будущем  капитала.(пренумерандо)

 

Конечная  величина  первого  вклада  в  “n” – году , увеличенный  на  сложные  проценты , составит

                                                                 n

                                                       а  *  r  

Второй  вклад   составит

                                                                  n-1

                                                         a *  r

 

так  как  он  вложен  на (n  - 1)

Последний  вклад , внесённый  в  n –ый год , имеет величину

 

                                                            a * r

 

Совокупный  вклад  как  сумма  всех   вкладов   составит 

 

                                                                      n  

                                                Кs  =  ∑ а * r  

                                                            n

Используя  формулу  суммы  геометрической  прогрессии, получаем

 

                                                                       n

                                                                     r    ─    1

                                                Кs  =  а *  r  ------------

                                                                       r  ─ 1

        n

      r    −    1

r * -------------         --   коэффициент   аккумуляции   вкладов. 

        r  −   1   

 

 

Если  вложения  “a” в  течении   нескольких  “n” лет  производятся  в  конце  каждого  года    (постнумерандо),  то

                   n

                 r      -    1

Ks  =  a * ------------

                    r - 1

 

Текущая  стоимость  ряда  вкладов  постнумерандро

 

Ряд  вкладов  дисконтируется   на  начальный  момент  времени:

Со  =  а1/r   +  a2/ r^2  +  a3/r^3 + …..+  an/r^n ,  где 

 

r  =  1 + p/100

 

Если  все   вклады  одинаковы ,  а  дисконт  не  меняется , то  применяя  метод  страницы  3-ей  получаем:

 

Со  =  а (  1/r  +  1/r ^2  +  ….+  1/r ^n )

                   

                 r ^ n   -  1

Co  =  a   ------------------

                 r ^ n ( r  -  1)

 

Со  является  текущей  дисконтированной  стоимостью  вкладов  постнумерандо

 

 

7.Временная  уценка   капитала

 

Общие  простейшие  формулы :

 

 ∑ возврата  =   ∑ кредита  +  ∑ процента    или

 

К возврата =  ∑ кредта +  ∑кредита * р/100   или   К возвр = ∑ кред( 1 +  i  ) или это же

 

К  =   Ко ( 1 + i ) , тогда «сегодняшняя» (текущая)  стоимость   выданного кредита от  будущей суммы дохода  равна:

 

                       1

Ко  =  К*  -----------                   ( i = p/100 )

                  ( 1 +  i  )

 

 

Обратная  задача  приведения  накопленного  в будущем  капитала  к сегодняшней  стоимости

                                    2            3                      n

PV( K)  =  a ( 1/r + 1/r    +  1/ r     + ……+  1/r   )          ( r  =  1 + p/100 )

Используя  сумму   геометрической     прогрессии  ,  получаем

 

                          n

                         r    -  1

PV(K)  =  a *  -------------

                           n

                         r   (r – 1)

Изящный  метод   обоснования  этой  формулы:

Задача амортизации  займа  (погашения  кредита ).Наиболее  популярна аннуитетная модель  погашения:

Сумма  дисконтированных  аннуитетов  за  срок  погашения  должна быть  равна  сумме  займа  К

                                       a           a                         a

                           K  =  -----   +  -----  +  ……..+  -----                            ( 1 )

                                       r           r ^2                     r ^n

 

Умножим  левую и  правую  часть  уравнения  (1) на   r                  (   r  =  1 + p/100 )

                                                                n