Разработка цифрового полосового КИХ-фильтра

НОВОСИБИРСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  ТЕХНИЧЕСКИЙ   
УНИВЕРСИТЕТ

ФАКУЛЬТЕТ  АВТОМАТИКИ  И  ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ  ТЕХНИКИ

 

Кафедра  Систем Сбора и Обработки Данных

 

 

 

 

 

 

 

«Теория и обработка сигналов»

 

 

 

 

КУРСОВАЯ  РАБОТА

 

Вариант  № 7

 

РАЗРАБОТКА  ЦИФРОВОГО ПОЛОСОВОГО КИХ-ФИЛЬТРА

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил: Минх А.

Факультет:   АВТ

Группа:       АИ-92

Преподаватель:  доц. Щетинин  Ю.И.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Новосибирск

2012

 

Содержание

 

Введение……………………………………………………………………....3

Техническое задание…………………………………………………………4

1.Обоснование выбора и сущность метода проектирования……………5

1.1.Метод  оконного взвешивания…………………………………….8

1.2.Метод  равномерной (чебышевской) аппроксимации…………...8

2.Проектирование  фильтра………………………………………………….9

3.Уравнение  фильтра………………………………………………………..14

4.Тестирование  фильтра…………………………………………………….14

5.Программирование  фильтра и оценка быстродействия………………...17

Заключение…………………………………………………………………...20

Список литературы…………………………………………………………..21 

Введение

 

Цифровые фильтры - это  программная процедура или аппаратное средство, выполняющие фильтрацию цифрового  сигнала. ЦФ по сравнению с аналоговыми более точные, стабильные, но время быстродействия при высоких порядков больше.

К тому же у ЦФ есть шум  квантования сигналов  и погрешности  округления, которых нет у аналоговых фильтров. Фильтры используют для получения схем с заданными частотными характеристиками. Фильтры делятся на разные группы по различным критериям, как - то:

• по типу обрабатываемого сигнала (аналоговые и цифровые);
• по виду их АЧХ (ФНЧ, ФВЧ , ПФ  и РФ );
• по типу аппроксимирующей функции( Баттерворта, Чебышева, Бесселя, Кауэра и др.)

 Цифровой фильтр оперирует с дискретными по времени данными в противоположность непрерывному сигналу, обрабатываемому аналоговым фильтром. При этом очередной отсчет, соответствующий отклику фильтра, формируется по окончании каждого периода дискретизации. Среди цифровых фильтров, в свою очередь, выделяют два фундаментальных класса: фильтры с конечной импульсной характеристикой (КИХ -фильтры ) и фильтры с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ - фильтры).

В зависимости  от выделяемой полосы частот фильтры  подразделяются на фильтры нижних частот (ФНЧ), верхних частот (ФВЧ), полосовые (ПФ) и режекторные (РФ, заграждающие).

Для аппроксимации  характеристик фильтров используются специальные типы функций, которые  могут быть реализованы в практических схемах. По названию аппроксимирующих функций соответствующие фильтры  называю фильтрами Баттерворта, Чебышева, Бесселя, Кауэра и др.

Такое разнообразие цифровых фильтров призвано удовлетворять  определенным потребностям в получении  выходного сигнала.

  При проектировании  формируется требования к желаемым характеристикам фильтра, после этого в зависимости от требований, предъявляемых к выходному сигналу фильтра выбирается его тип.

В данной курсовой работе, в соответствии с  техническим заданием, проектируется  цифровой полосовой КИХ-фильтр.

Все расчеты  по проектированию фильтра выполнены  в среде MatLab 6.5.

 

Техническое задание

 

Разработайте  цифровой  полосовой   КИХ –  фильтр,  удовлетворяющий следующим  условиям:

 

• Нижняя граничная частота  полосы  пропускания (F_pass1) - 400 Гц,
• Верхняя граничная частота  полосы  пропускания (F_pass2)– 800  Гц,
• Нижняя граничная частота  полосы задерживания (F_stop1)– 300  Гц,
• Верхняя граничная частота полосы задерживания (F_stop2)– 900  Гц,
• Минимальное ослабление в полосе задерживания (A_stop1, A_stop2)– 60 дБ,
• Неравномерность передачи в полосе пропускания (A_pass)  - 1  дБ,
• Частота дискретизации (F_s)– 8 кГц.

 

Рис. 1. График спецификации АЧХ проектируемого фильтра

 

Проектируемый фильтр должен  оперировать с  дискретными по времени входными сигналами и иметь конечную импульсную характеристику, то есть выходной сигнал фильтра будет определяться только значениями входного сигнала.

 

1. Обоснование выбора и сущность метода проектирования

 

В отличие  от аналоговых фильтров, цифровые фильтры  часто реализуются очень просто после того, как получены подходящие разностные уравнения. Поэтому главной  задачей является определение коэффициентов b_k этого уравнения:

.

 

Видно, что  коэффициенты Фурье совпадают с  коэффициентами импульсной характеристики цифрового фильтра. Использование  этих соотношений для проектирования КИХ-фильтра связано с двумя  трудностями. Во-первых, импульсная характеристика фильтра имеет бесконечную длину, поскольку суммирование производится в бесконечных пределах. Во-вторых, фильтр физически нереализуем, так  как импульсная характеристика начинается в  , т.е. никакая конечная задержка не сделает фильтр физически реализуемым.

 

Наиболее  часто используются следующие методы :

 

• Метод разложения частотной характеристики целевого фильтра в ряд Фурье с последующим взвешиванием импульсной характеристики фильтра с помощью специальных взвешивающих оконных функций (оконный метод);
• Метод частотных выборок;
• Методы оптимизации частотных характеристик, основанные на процедурах минимизации нормы разности между желаемой и аппроксимирующей характеристиками фильтра.

 

Для первого  метода проектирование заключается  в выборе типа окна, определения  порядка фильтра, и вычислении импульсной характеристики, или его передаточной функции.

Основная  идея метода частотных выборок состоит в том, что искомую частотную характеристику можно аппроксимировать ее отсчетами, взятыми в N равноотстоящих точках, а затем путем интерполяции получить результирующую частотную характеристику, которая будет проходить через исходные отсчеты. 

Методы  оптимизации частотных заключаеются в минимизировании разности между желаемой D(e^jω)  и действительной H(e^jω)  частотными характеристиками фильтров.

Начнём  с рассмотрения метода частотной  выборки [3, стр. 81-92]. Данный метод получил  такое название, потому что он основан  на выборе N равноотстоящих значений (выборок) частотной характеристики, после  чего нужно произвести вычисление обратного  дискретного преобразования Фурье (ДПФ) для этих выборок, так как  из формулы ДПФ непосредственно  вытекает прямой способ получения импульсной характеристики фильтра. Однако данная прямая процедура не совсем корректна в практическом применении, так как невозможно предсказать поведение частотной характеристики между частотными выборками, более того, это поведение, в большинстве своём, не удовлетворительно. Поэтому в данном методе используются некоторые подходы, предназначенные для уменьшения пульсаций в поведении частотной характеристики. А также формулируются условия синтеза фильтров с линейной фазой и действительной импульсной характеристикой, которые должны выполняться. Для того чтобы импульсная характеристика была действительной, в разностном уравнении фильтра некоторые коэффициенты должны удовлетворять условиям симметрии. А для того, чтобы получить фильтр с линейной фазой, частотные выборки должны быть симметричными по амплитуде и должны иметь линейную антисимметричную фазу в интервале (-π, π) согласно общим свойствам преобразования Фурье, но учитывая смысл обратного ДПФ, условия симметрии удобней выражать на интервале (0, 2π). Чтобы ошибка аппроксимации в полосе пропускания и в полосе задерживания была минимальной, нужно хорошо выбрать выборки частотной характеристики в переходной полосе. Для этой цели предназначены несколько способов, один из которых основан на использовании метода наискорейшего спуска, другой же, более эффективный подход основан на формулировке задачи аппроксимации в виде задачи линейного программирования, важность которой заключается в том, что можно показать, что решение, если оно существует, может быть найдено за конечное число шагов с помощью процедуры, гарантирующей сходимость.

Теперь  рассмотрим метод расчёта оптимальных  фильтров [3, стр. 95-103]. Фильтры, полученные методом частотных выборок, будут  оптимальными фильтрами в том  случае, если при их построении использовалось линейное программирование. То есть оптимальными являются те фильтры, для которых  максимальная ошибка в полосе пропускания  и (или)  в полосе задерживания минимальна по сравнению с любыми другими  фильтрами, которые можно получить, изменяя значения выборок в переходной полосе. Можно построить несколько  классов оптимальных фильтров, которые  отличаются различным выбором переменных параметров и критерием оптимальности. При аппроксимации же все коэффициенты фильтра считаются переменными  и определяются процедурой оптимизации. Первый класс оптимальных фильтров – это класс фильтров, оптимальных в смысле минимума нормы ׀׀ Lp ׀׀, которая связывает желаемую частотную характеристику с аппроксимирующей функцией, коэффициенты которой получаются так, чтобы минимизировать ׀׀ Lp ׀׀. Другой подход основан на том, что задача построения КИХ-фильтров сводится к задаче чебышевской аппроксимации, соответствующей случаю, когда p = ∞ в ׀׀ Lp ׀׀. Чебышевские аппроксимации имеют очень важное свойство, называемое чебышевским альтернансом, которое очень полезно при поиске решения задачи аппроксимации. Для построения фильтров, имеющих ошибку с равноколебательным поведением, предложено несколько методов, наиболее эффективный из которых основан на итерационной процедуре, известной под названием второго алгоритма Ремеза. Чебышевский метод синтеза можно также сформулировать в виде задачи линейного программирования, что приводит к алгоритму, который менее эффективен, чем алгоритм Ремеза, но имеет преимущество в гибкости. Таким образом, задача, как и в методе частотных выборок, сводится к линейному программированию, только в этом случае переменные, по которым проводится оптимизация, не являются частотными выборками, а представляют собой набор коэффициентов импульсной характеристики, то есть множество всех выборок её ДПФ.

И, наконец, рассмотрим метод взвешивания импульсной характеристики при помощи соответствующей  взвешивающей функции [1, стр. 80-90], [3, стр. 72-79]. В данном методе частотная характеристика представляется в виде ряда Фурье, коэффициенты которого представляют собой значения импульсной характеристики фильтра. Такое  представление возможно вследствие периодичности комплексной экспоненты. Однако суммирование в ряде Фурье  происходит в бесконечных пределах, что означает бесконечную импульсную характеристику. Поэтому для получения  конечной импульсной характеристики используют конечное число членов ряда Фурье. Такое  усечение ряда Фурье вызывает явление  Гиббса, которое приводит к появлению  пульсаций аппроксимирующей частотной  характеристики вблизи точек разрыва, то есть на идеально плоской АЧХ  в полосе пропускания и в полосе задерживания появляются пульсации, а  разрыв на частоте среза сменяется  конечной переходной полосой. При увеличении количества отсчётов ширина переходной полосы уменьшается, а пульсации  локализуются в меньшем диапазоне  частот, но амплитуда пульсаций остаётся той же, что и раньше, то есть амплитуда  пульсаций не зависит от количества отсчётов. Усечение ряда Фурье конечным числом членов представляет собой умножение  бесконечного ряда на прямоугольное  “окно”. Прямоугольное окно может  лишь уменьшить ширину переходной полосы путём увеличения количества отсчётов, но не может уменьшить амплитуду  пульсаций. Таким образом, прямоугольное  окно не обеспечивает допустимую амплитуду  пульсаций. Для уменьшения пульсаций, а также для получения более  узкой переходной полосы, используют сглаживающие функции (окна). В данном методе для обеспечения допустимого  уровня пульсаций частотной характеристики, значения импульсной характеристики умножаются на некую весовую последовательность (окно), в результате чего получается взвешенная импульсная характеристика. Сглаживающие свойства взвешивающего  окна тем лучше, чем меньше у него ширина главного лепестка и чем меньше площадь под боковыми лепестками. Однако эти два условия взаимно  противоречивы. Существует несколько  видов сглаживающих окон, которые в той или иной степени сочетают два этих условия.

Итак, после  рассмотрения нами всех трёх методов, которые широко распространены в  практике, можно сделать вывод, что  наиболее удобным, простым и менее  трудоёмким является метод взвешивания. Данный метод, основанный на получении взвешенной импульсной характеристики требуемого КИХ-фильтра, предоставляет разнообразный список сглаживающих функций (окон), что предоставляет некоторую свободу в выборе окна в зависимости от интересующей нас частотной характеристики проектируемого фильтра. В данной работе в качестве метода проектирования нашего цифрового фильтра рассмотрим метод взвешивания и метод равномерной (чебышевской) аппроксимации. Сравним их и выберем лучший вариант.

 

1. Метод оконного взвешивания

 

В данной работе используется метод, относящийся  к методам, основанным на разложении частотной характеристики целевого фильтра в ряд Фурье с последующим  взвешиванием импульсной характеристики фильтра с помощью специальных  взвешивающих оконных функций, метод  оконного взвешивания с использованием окна Кайзера.

Задача  расчета хороших окон фактически сводится к математической задаче отыскания  ограниченных во времени функций, преобразования Фурье которых наилучшим образом аппроксимируют функции, ограниченные по частоте, т.е. имеют минимальную энергию за пределами заданного интервала частот. Одним из решений такой задачи является окно Кайзера:

  

где - константа, определяющая компромисс между максимальным уровнем боковых лепестков и шириной главного лепестка частотной характеристики окна, а - функция Бесселя нулевого порядка. Окно Кайзера является по существу оптимальным окном в том смысле, что оно представляет последовательность конечной длины, которая имеет минимум энергии спектра за пределами некоторой заданной частоты.

 

2. Метод равномерной (чебышевской) аппроксимации

Популярными среди КИХ – фильтров являются оптимальные чебышевские  фильтры. По сравнению с фильтрами по методу оконного взвешивания они обеспечивают требования спецификации  при значительно меньшем порядке.

  В оптимальных по Чебышеву фильтрах  минимизируется  чебышевская  норма ошибки.  

Напомним, что так называемая  р – норма ошибки  (разности) между желаемой и действительной частотной характеристикой фильтра определяется выражением

,

где  D(e^jω) – желаемая частотная характеристика фильтра,