Расчет фильтров нижних частот

Содержание

 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

В простейшем и  наиболее часто используемом варианте фильтр включается между резистивными нагрузками (рисунок 1.).

Рис.1 Подключение между резистивными нагрузками

Как уже отмечалось, для формирования требования к фильтру  используется рабочее затухание

где

есть нормированная (рабочая) АЧХ фильтра. Кроме нормированной  АЧХ для удобства расчётов может  использоваться нормирование и других величин:

- нормированная частота;

- нормированное операторное  сопротивление;

- нормированная индуктивность;

- нормированная ёмкость;

- нормированное резистивное  сопротивление;

- нормированный оператор Лапласа.

 

Здесь ω₀, f₀, R₀ являются нормирующими величинами.

Если в результате решения  задачи найдены нормированные величины, то денормирование производится по формулам:

 

; ; ; ;

 

Графики АЧХ  и затухания идеальных ФНЧ  показаны на рисунке 2.

 

Рис.2 Графики АЧХ и затухания идеальных ФНЧ

 

1. Фильтры нижних частот

Схема простейшего фильтра  нижних частот приведена на рис. 3. Передаточная функция этого фильтра определяется выражением: W(s) = 1/(1+sRC).

Рис.3 Схема простейшего фильтра нижних частот

Заменив s на jw, получим частотную характеристику фильтра. Для реализации общего подхода целесообразно нормировать комплексную переменную s. Положим

где  _c – круговая частота среза фильтра. В частотной области этому соответствует

Частота среза  _c фильтра на рис. 14 равна 1/RC. Отсюда получим   и

Используя передаточную функцию для  оценки зависимости амплитуды выходного  сигнала от частоты, запишем

При  »1, т.е. для случая, когда частота входного сигнала  » _c, |W(j )| = 1/ . Это соответствует снижению коэффициента передачи фильтра на 20 дБ на декаду.

Если необходимо получить более  быстрое уменьшение коэффициента передачи, можно включить n фильтров нижних частот последовательно. Передаточная функция такой системы имеет вид:

где  ₁,  ₂ , ... ,  _n – действительные положительные коэффициенты. Из этой формулы следует, что |W(j )| ~ 1/ ⁿ при  »1. Полюса передаточной функции вещественные отрицательные. Таким свойством обладают пассивные RC-фильтры n-го порядка. Соединив последовательно фильтры с одинаковой частотой среза, получим:

Этот случай соответствует  критическому затуханию.

Передаточная функция фильтра  нижних частот (ФНЧ) в общем виде может быть записана как

где с₁, с₂ , ... , с_n – положительные действительные коэффициенты, K₀ –коэффициент усиления фильтра на нулевой частоте. Порядок фильтра определяется максимальной степенью переменной S. Для реализации фильтра необходимо разложить полином знаменателя на множители. Если среди нулей полинома есть комплексные, то рассмотренное ранее представление полинома не может быть использовано. В этом случае следует записать его в виде произведения квадратных трехчленов:

где a_i и b_i – положительные действительные коэффициенты. Для полиномов нечетных порядков коэффициент b₁ равен нулю. Реализация комплексных нулей полинома на пассивных RC-цепях невозможна. Применение индуктивных катушек в низкочастотной области нежелательно из-за больших габаритов и сложности изготовления катушек, а также из-за появления паразитных индуктивных связей. Схемы с операционными усилителями позволяют обеспечить комплексные нули полиному без применения индуктивных катушек. Такие схемы называют активными фильтрами. Рассмотрим различные способы задания характеристик ФНЧ. Широкое применение нашли фильтры Бесселя, Баттерворта и Чебышева, отличающиеся крутизной наклона амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) в начале полосы задерживания и колебательностью переходного процесса при ступенчатом воздействии. Амплитудно-частотные характеристики этих ФНЧ четвертого порядка приведены на рис. 15.

Амплитудно-частотная  характеристика фильтра Чебышева спадает более круто за частотой среза. В полосе пропускания она, однако, не монотонна, а имеет волнообразный характер с постоянной амплитудой. При заданном порядке фильтра более резкому спаду амплитудно-частотной характеристики за частотой среза соответствует бoльшая неравномерность в полосе пропускания. Колебания переходного процесса при ступенчатом входном воздействии сильнее, чем у фильтра Баттерворта.

Фильтр Бесселя обладает оптимальной переходной характеристикой. Причиной этого является пропорциональность фазового сдвига выходного сигнала фильтра частоте входного сигнала. При равном порядке спад амплитудно-частотной характеристики фильтра Бесселя оказывается более пологим по сравнению с фильтрами Чебышева и Баттерворта.

Тот или иной вид фильтра  при заданном его порядке определяется коэффициентами полинома передаточной функции фильтра.

Рис.4 Амплитудно-частотные характеристики фильтров четвертого порядка. 1 – фильтр с критическим затуханием; 2 – фильтр Бесселя; 3 – фильтр Баттерворта; 4 – фильтр Чебышева с неравномерностью 3 дБ.

 

 

1.1 Пассивные фильтры нижних частот второго порядка

 
На основании выражения  запишем в общем виде передаточную функцию ФНЧ второго порядка

Такая передаточная функция не может быть реализована  с помощью пассивных RC-цепей. Подобный фильтр может быть реализован с применением  индуктивностей. На рисунке 5 показана схема пассивного ФНЧ второго порядка.

Рис.5 Схема пассивного ФНЧ второго порядка

 

Передаточная  функция фильтра имеет вид:

Рассчитать   фильтр  можно,  воспользовавшись  формулами:

        и          

Например,  для  ФНЧ  второго  порядка  типа  Баттерворта   с   коэффициентами   а1 = 1,414 и b1 = 1,000, задав частоту среза fСР=  10 Гц и емкость С = 10мкФ, из (2.62) получим R = 2,25 кОм  и   L = 25,3 Гн.          

Подобные фильтры неудобны для реализации из-за слишком большой индуктивности. Заданную передаточную функцию можно реализовать с помощью операционного усилителя с соответствующими RC – цепями, что позволяет исключить индуктивности. 

 

1.2 Активные ФНЧ второго порядка 

Примером активного  ФНЧ второго порядка является фильтр со сложной отрицательной обратной связью, схема которого показана на рисунок 6.

Рис.6 Фильтр со сложной отрицательной обратной связью

Передаточная  функция данного фильтра имеет вид:

Для расчета фильтра  можно записать:

При расчете  схемы лучше задавать значения емкостей конденсаторов и вычислять необходимые  значения сопротивлений.

Для того чтобы  значение сопротивления R2 было действительным, должно выполняться условие  

Фильтры с отрицательной  обратной связью могут быть реализованы с высокой добротностью.

Активный ФНЧ  второго порядка  может быть построен на основе ОУ с омической отрицательной обратной связью и на основе ОУ с положительной обратной  связью. 

 

2. Полиномиальные ФНЧ с равноволновыми  
характеристиками затухания ( ф-ры Чебышева)

Пусть задана неравномерность  затухания Δа, которая может быть на любой частоте полосы пропускания. Потребуем, чтобы при заданном n (числе элементов) затухания фильтра в полосе задержания, а₀ было бы максимально возможным.

 Решение задачи аппроксимации, соответствующей сформулированным требованиям, основано на экстремальных свойствах равномерного (чебышевского) приближения. Аналитическая запись такого решения имеет вид:

а = 10lg(1+A₀P_n²(

)),

где Р_п( )=cos(n·arccos( )) – полином Чебышева степени n.

Поскольку cos a=chj , то существует и другая форма записи полиномов Чебышева:

Р_п(

)=ch(n·arch( )).

В литературе приводятся доказательства, что Р_п( ) действительно является полиномом степени n. Эти полиномы приводятся в справочной литературе:

n=2; P₂(

)=cos(2·arccos )=2 ²-1;

n=5; P_s(

)=cos(5·arcos )=16 ⁵-20 ³+5 .

В полосе пропускания, то есть на интервале от 0 до квадрат полинома Чебышева будет меняться в пределах [0;1], принимая поочерёдно крайние значения (n+1) раз. При этом функция а на рассматриваемом интервале частот будет принимать такое же число раз значения[0;Δа].

Рис.7 Графики затухания Чебышевских полиномиальных ФНЧ

 

На рисунке 7 приведены графики затухания  Чебышевских полиномиальных ФНЧ для значений n=2 и n=5 при одинаковых Δа.

Исследование  функции а( ) позволяет сделать ряд важных и интересных для практики выводов:

1. При одном и том же значении Δа увеличение порядка передаточной функции приводит к увеличению крутизны характеристики затухания за пределами полосы пропускания.
2. При неизменном значении n затухание вне полосы пропускания тем больше, чем больше Δа.
3. Наименьшие (равные 0) и наибольшие (равные Δа) значения затухания чередуются в полосе пропускания. Именно поэтому аппроксимацию по Чебышеву часто называют «равноволновой».
4. Затухание фильтра в полосе задержания с увеличением частоты возрастает монотонно.

По заданным требованиям к характеристике затухания в полосе задерживания порядок ФНЧ Чебышева рассчитывается так же, как и порядок ФНЧ Баттерворта, исходя из условия а( ) а₀.

Решив данное неравенство  относительно n получим:

Конструирование функции Т(р) по известной |T(j )|² производится обычным путём. Схемы лестничной реализации будут иметь тот же вид, что и у любого другого полиномиального ФНЧ при одинаковом n.

Различие будет  лишь в значениях величин параметров элементов. Табулированные решения по расчёту чебышевских ФНЧ приводятся в справочной литературе.

Преимущество  фильтра Чебышева состоит в том, что при одинаковом количестве элементов  и при одинаковом, Δа в полосе пропускания, этот фильтр имеет большее затухание в полосе задерживания по сравнению с фильтром Баттерворта.

 

 

3. Разработка и моделирование схемы в программе Electronics Workbench

 

Схема по заданию

 

Рис.8 Схема фильтра нижних частот второго порядка по заданию

Производим расчет нашей  схемы

 

4. Моделирование схемы в программе Electronics Workbench

 

Рис.9 Моделирование схемы в программе Electronics Workbench

 

 

Рис.10 АЧХ и ФЧХ системы

 

 

5. Разработка макета печатной платы в SprintLayout

Схема по заданию

Рис.11 Схема фильтра нижних частот второго порядка по заданию

Рис.12 Макет печатной платы в SprintLayout

 

Заключение

В данной работе была проанализирована предложенная схема фильтра низких частот. Получили реализацию фильтра Чебышева нижних частот второго порядка с частотой среза f_ср = 250 Гц, k_ус = 3. Разработали  и смоделировали схему в программе Electronics Workbench и разработали макет печатной платы в SprintLayout.

Амплитудно-частотная  характеристика фильтра Чебышева спадает  более круто за частотой среза. В  полосе пропускания она, однако, не монотонна, а имеет волнообразный характер с постоянной амплитудой. При заданном порядке фильтра более резкому спаду амплитудно-частотной характеристики за частотой среза соответствует бoльшая неравномерность в полосе пропускания.