Математические модели электротехнических объектов

1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ  МОДЕЛИ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ

1. Подсистемы физических систем

В технике  рассматриваются физические системы, функционирование которых происходит в соответствии с известными законами. Физические системы помимо основных частей включают все, что связывает основные части системы между собой, с внешней средой и с источниками энергии, саму внешнюю среду и источники энергии. Выделение в системе составных частей не разделяет устройства на детали, а характеризует части единого процесса преобразования энергии, где энергия имеет один вид (одну физическую природу). В этом смысле одна и та же деталь устройства может участвовать в различных частях системы. Если в выделенных частях системы энергия имеет один вид, то их называют однородными, в противном случае разнородными.

Электрический аппарат, представляющий собой техническое  устройство — электромагнитный привод для автоматической регулировки расхода топлива автомобиля, изображен на рис. 1.

Описание  устройства как технического объекта  должно включать конструкцию и принцип действия. Например, допустима следующая формулировка.

Электромагнитный привод состоит из стального магнитопровода 7, электрической катушки 2, стального  сердечника 3, соединенного штоком 4 с клапаном 5. Сердечник шток и клапан жестко соединены между собой, перемещаются в осевой опоре скольжения 6 и имеют предварительное поджатие в правое положение возвратной пружиной 7.

12 3 4 6 7 5

Рис. 1. Электромагнитный привод для автоматической регулировки расхода топлива  автомобиля

 

Поинцип действия заключается в  выполнении следующих операций. Микропроцессор автомобиля по данным первичных датчиков выдает оманду управляемому источнику питания на включение электромагнита на требуемое напряжение. Возникает действующая на сердечник электромагнитная сила, которая перемещает его в заданное функцией управления положение. По команде отключения электромагнита электромагнитная сила исчезает и сила возвратной пружины перемешает подвижную часть в исходное положение, канал подачи топлива

закрывается.

Описание электромагнитного привода  как физической системы разделяют  на части или подсистемы с одним  видом энергии в целях дальнейшего  построения математической модели устройства. Какие виды энергии присутствуют в устройстве и с какими деталями связаны? Подсистемы электромагнитного привода изображены на рис. 2.

Во-первых, энергия электрического тока, которая передается от источника  питания автомобиля к катушке электромагнита по проводам — это электрическая подсистема.

Во-вторых, энергия электромагнитного  поля, существующая в деталях электромагнита: катушке, намагничиваемых магнитопроводе и сердечнике, а также в окружающем пространстве, которую создает ток в катушке — это электромагнитная подсистема.

В-третьих, механическая энергия поступательного  движения деталей механизма, возникающая под действием электромагнитных сил — это механическая подсистема поступательного движения.

В-четвертых, тепловая энергия, которая, естественно, присутствует во всех деталях устройства и в окружающем пространстве. Протекание тока в проводах, намагничивание и перемагничивание стальных Деталей электромагнита, трение в опорах скольжения приводят к ^в°зникновению теплоты — это тепловая подсистема.

 

Выделение физических подсистем  может быть продолжено на другие процессы в автомобиле и окружающем пространстве.

1.2. Виды  математических моделей

Электромеханические системы электрических  аппаратов [1], электрических машин и других электротехнических устройств — сложные для моделирования объекты. Они отличаются разнообразностью конструкций и происходящих в них физических процессов. Подробная математическая модель устройств имеет большое число неизвестных параметров и требует больших вычислительных ресурсов при анализе. Стремление получить более простую формализованную модель ограничивается тремя основными требованиями: достаточностью по объему получаемой информации, доступностью для понимания физических процессов и достоверностью результатов моделирования.

Достаточность модели по объему информации определяется техническими требованиями задания. Математическое моделирование применяется в основном при оптимизационном проектировании выбранного нового или ранее известного типа конструкции не только для сокращения дорогостоящего и длительного промежуточного физического макетирования, но и для более глубокого, чем в эксперименте, анализа процессов. Полный отказ от макетирования переносит риски ошибок на опытные образцы устройств.

Доступность понимания физических процессов, иначе «прозрачность» модели, позволяет применять ее на практике и трактовать результаты непосредственно инженерами различных специальностей, а не только разработчиками моделей.

Достоверность результатов моделирования определяется расхождениями с экспериментальными данными реальных устройств, которые складываются из погрешностей модели, вычислительных погрешностей, приближенного знания свойств объекта, а также погрешностями экспериментальных исследований. Нет никаких оснований повышать точность моделирования сверх погрешностей воспроизведения оригинала и требований конкретной задачи.

Подсистемы электротехнического  объекта представляют процессы преобразования энергии только своей физической природы и называются:

электрическая — энергия электрического тока;

магнитная — энергия электромагнитного  поля;

механическая  — механическая энергия твердых  тел; 

тепловая  — тепловая энергия, а также другие, например гидравлическая, акустическая.^

Модель отдельной подсистемы должна устанавливать правила преобразования энергии своего вида, а также связывать  различные

подсистемы.

физический процесс происходит в среде, идентифицируемой в пространстве и во времени. Даже в ограниченном диапазоне пространственно-временных координат имеем бесконечное множество значений параметров, характеризующих процесс. Для построения математических моделей конечной размерности применяются аппроксимирующие функции, которые позволяют приближенно определить значения параметров в любой точке пространства и в любой момент времени по значениям в ограниченном числе узловых точек пространства и моментов времени. Чем больше узловых точек, тем точнее производится аппроксимация. Поэтому такие модели имеют асимптотическое уточнение решения. В зависимости от точности пространственной аппроксимации параметров принято разделять микромодели и макромодели.

Микромодель имеет множество узлов для аппроксимации в пространстве, в общем случае изменяющихся во времени функций, которые выбираются с учетом характера пространственно-временного распределения параметров (рис. 3). Так решаются задачи численного анализа векторных или скалярных полей, например расчет поля вектора магнитной индукции электромагнита. Сама модель — это системы уравнений: дифференциальных в частных производных, интегро- дифференциальных или интегральных для функций координат и времени. При численном решении все типы уравнений сводятся к алгебраическим для последующего решения на компьютере.

 

 

**3. Микромодель системы с распределенными в пространстве параметрами: о — непрерывное распределение в пространстве векторного потенциала; конечно-элементная микромодель распределения векторного потенциала 

Рис. 4. Представление механического устройства в виде системы материальных точек

Макромодель наоборот использует грубую пространственную аппроксимацию параметров, которая позволяет исключить из рассмотрения распределенные параметры процессов. Она удобна там, где имеются сосредоточенные в пространстве элементы моделирования, например в электрической цепи — резистор, конденсатор или катушка индуктивности. В механике твердые тела представляются системой материальных точек со своими массами и воздействующими на них сторонними силами, силами трения и силами упругих связей с другими материальными точками (рис.4).

Математическая  модель физической системы на макроуровне  представляет собой систему алгебраических и обыкновенных дифференциальных (интегральных) уравнений.

2. ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ  СОСТАВЛЕНИЯ МАКРОСКОПИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

1. Элементы, фазовые переменные и источники

Макромодель составляется из элементов, не имеющих пространственных размеров. Свойства отдельных деталей моделируемого объекта представляются в ней интегральными параметрами, выраженными в виде констант или простых алгебраических функций. Определение параметров моделей отдельных элементов выделяется в самостоятельную задачу.

Составление математической модели системы, включающей несколько подсистем различной физической природы, основано на общих для всех подсистем понятиях, позволяющих добиться единообразия формы записи уравнений. К ним относятся [2] понятия элементов и фазовых переменных.

Названия пассивных элементов  макромодели для любой из подсистем одинаковы и связаны с характером преобразования энергии в них. Таких элементов три. По аналогии с электрическими цепями их обозначают и называют: резистор, катушка индуктивности и конденсатор.

В резисторе R происходит безвозвратное рассеяние энергии

           1

W= ∫i²Rdt. В катушке индуктивности L и конденсаторе С накап-

         0

ливается энергия W_L =Li²/2, W_c =CU²/2, где U, i — параметры процесса (для каждой подсистемы свои); t — время.

В макромоделях физические процессы представляются в виде зависимостей от времени определенных параметров, которые составляют совокупность искомых неизвестных математической модели и носят название фазовых переменных. По своему характеру такие переменные в каждой подсистеме могут быть отнесены к одному из двух типов: переменные типа потока и переменные типа потенциала, например ток i и напряжение U в электрической цепи. Фазовые переменные обычно выбираются из условия, что их произведения определяют мощность преобразуемой энергии, а тип (поток или потенциал), с точки зрения математического моделирования, может быть назначен произвольно. Кроме того, фазовые переменные должны быть удобны  для записей физических законов в традиционной форме.

Источники энергии в физических подсистемах моделируются ис точниками фазовых переменных двух типов: источники типа потока (аналог источника тока в электрических цепях) и источники типа по» тенциала (источник ЭДС в электрических цепях). В графическом представлении математическая модель изображается эквивалентными схемами подобно электрическим цепям, содержащим требуемый набор активных и пассивных элементов.

Составляющие математическую модель уравнения определяют связи между  фазовыми переменными. По смысловому содержанию формируемые уравнения объединяются названиями либо компонентных, либо топологических уравнений.

Компонентные уравнения отражают закон функционирования каждого элемента системы и связывают разнородные фазовые переменные (поток — потенциал). Они выводятся как на основе известных ранее фундаментальных законов и их следствий (например, второй закон Ньютона в механике), так и на основе данных специальных теоретических или экспериментальных исследований (в частности, микромоделированием полей, физическим макетированием и др.).

Топологические уравнения отражают структуру связей между различными элементами в подсистеме и в целом в системе и записываются для однородных фазовых переменных: отдельно для потоков и потенциалов. Вывод топологических уравнений легко поддается формализации, так как опирается на общие правила функционирования любых технических подсистем, представляющие законы непрерывности и равновесия.

Математические записи физических законов в каждой подсистеме включают различные параметры и  различны по форме. Использование формальных определений, соответствующих данной подсистеме простейших элементов R, L, С и фазовых переменных, позволяет представить физические законы всех подсистем в одинаковой форме записи в виде однотипных компонентных уравнений. Такие преобразования возможны благодаря существующему подобию процессов различной физической природы по отношению к накоплению и рассеянию энергии конкретного вида.

2. Подобие процессов и явлений

Для выявления подобия процессов  и явлений применяют теорию подобия, подробно изложенную в [3]. При математическом моделировании систем, состоящих из ряда различных подсистем, подобие

процессов в этих подсистемах выражается в пропорциональном изменении во времени фазовых переменных. Поэтому модели различных подсистем можно представить совокупностью моделей одной подсистемы, например привычной для нас электрической цепью.

Для выявления возможного подобия процессов должны быть выполнены два требования к математической записи уравнений.

1. Уравнение физического процесса представляет сумму однород-

ных слагаемых ∑ⁿ⁼⁰f_j(x_j) = 0, где п — число слагаемых уравнения; i=i

X: — параметры слагаемого. Это значит, что все слагаемые имеют

одну и ту же размерность (правило  Фурье). Проверку правильности формул всегда начинают с проверки размерности  ее членов: каждое слагаемое заменяется произведением степеней ее параметров, знаки интегрирования и дифференцирования  отбрасываются, трансцендентные функции принимаются безразмерными. Также проверяется безразмерность аргументов трансцендентных функций.