Анализ временных рядов

1.7 Аддитивная и мультипликативная модели временного ряда

 

Существует несколько  подходов к анализу структуры  временных рядов, содержащих сезонные или циклические колебания.

Простейший подход- расчет значений сезонной компоненты методом скользящей средней и построение аддитивной или мультипликативной модели временного ряда. Общий вид аддитивной модели следующий:

 

 Y= T + S + E.

 

Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как произведение трендовой, сезонной и случайной компонент. Общий вид мультипликативной модели выглядит так:

 Y = T∙S∙E.

 

Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как произведение трендовой, сезонной и случайной  компонент. Выбор одной из двух моделей осуществляется на основе анализа структуры сезонных колебаний. Если амплитуда колебаний приблизительно постоянна, строят аддитивную модель временного ряда, в которой значения сезонной компоненты предполагаются постоянными для различных циклов. Если амплитуда сезонных колебаний возрастает или уменьшается, строят мультипликативную модель временного ряда, которая ставит уровни ряда в зависимость от значений сезонной компоненты.

Построение аддитивной и мультипликативной моделей  сводится к расчету значений трендовой, циклической и случайной компонент для каждого уровня ряда.

Процесс построения модели включает в себя следующие шаги.

1. Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней.
2. Расчет значений сезонной компоненты.
3. Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных в аддитивной или мультипликативной модели.
4. Аналитическое выравнивание уровней и расчет значений тренда с использованием полученного уравнения тренда.
5. Расчет полученных по модели значений или
6. Расчет абсолютных и относительных ошибок.

Если полученные значения ошибок не содержат автокорреляции, ими  можно заменить исходные уровни ряда и в дальнейшем использовать временной  ряд ошибок для анализа взаимосвязи  исходного ряда и других временных рядов.[5, c. 67]

 

1.8 Стационарные временные ряды

 

После удаления тенденции (тренда) из временного ряда мы получим стационарный временной ряд. Его можно рассматривать как выборку Т последовательных наблюдений через равные промежутки времени из существенно более продолжительной (генеральной последовательности случайных величин. При этом статистические выводы делаются относительно вероятностной структуры генеральной последовательности. Такую последовательность удобно считать простирающейся неограниченно в будущее и, возможно, в прошлое. Последовательность случайных величин у₁, у₂, . . . или . . ., у_-1, у₀, у₁, . . . называется случайным процессом с дискретным параметром времени.

Несмотря на полную произвольность вероятностных моделей последовательностей случайных величин, полезно отличать случайные процессы от множества случайных величин этого процесса, учитывая понятие времени. Грубо говоря, в случайном процессе наблюдения, разделённые небольшими промежутками времени, близки по значениям в отличие от наблюдений, далеко отстоящих друг от друга во времени. Более того, модель значительно упрощается после расширения конечной последовательности наблюдений до бесконечной.

Одним из таких упрощений  является свойство стационарности. Будем считать, что поведение множества случайных величин с вероятностной точки зрения не зависит от времени.

Случайный процесс y(t) с непрерывным параметром времени можно определить для 0 ≤ t < ∞ или -∞ < t < ∞ и рассматривать с привлечением вероятностной меры на пространстве функций y(t). Выборка из такого процесса состоит из наблюдений в конечном числе точек времени , или из непрерывных наблюдений в интервале времени.

Наблюдение процесса, часто называемое реализацией, есть точка в соответствующем бесконечномерном пространстве, где определена вероятностная мера. Вероятность определяется на некоторых множествах, называемых измеримыми. Этот класс множеств включает вместе с любым множеством его дополнение, а также объединение и пересечение счётного числа множеств этого класса; вероятностная мера на этом классе множеств определяется таким образом, что вероятность объединения непересекающихся множеств равна сумме вероятностей отдельных множеств.

Практически мы интересуемся вероятностями, которые связаны  с конечным числом случайных величин. Эти вероятности включают в себя функцию совместного распределения. [24, c. 88]

1.9 Применение быстрого преобразования Фурье к стационарному временному ряду

 

 Одно из назначений  преобразования Фурье- выделять  частоты циклических составляющих  временного ряда, содержащего случайную компоненту.

Пусть число данных N представимо в виде N = N₁ N₂. Тогда можно записать

 

 t = t₁ + (t ₂-1)N₁ , t₁ = 1, . . ., N₁ , t₂ = 1, . . ., N₂ ;

 j = j₁ + j ₂N₂ , j₁ = 0, . . ., N₂ – 1 , j₂ = 0, . . ., N₁ - 1;

 

Отметим, что a_{N – j} = a_j и b_{N – j} = - b_j . Искомые коэффициенты являются соответственно действительной и мнимой частями суммы:

 

 (1.9.1)

 

 

 

Для их отыскания вычислим сначала величины

 

 

 

 

Для каждой пары ( j₁, t₁ ) , j₁ = 0, . . ., N₂ – 1 и t₁ = 0, . . ., N₁ . Поскольку

 

 и ,

 

то существует около N₁N₂/2 = N/2 таких пар. После этого находятся действительная и мнимая части суммы (1.9.1):

 

 

 

 

для j = 0,1, . . ., [N/2]. Число операций умножения приближённо равно N₂N в первых суммах и 2N₁N во вторых суммах, так что число операций умножения в целом составляет примерно N (N₂ + 2N₁). В то же время число произведений в определении коэффициентов a_j и b_j , j=0,1, . . ., [N/2] примерно равно N². [20, c.98], [21, c.78]

 

1.10 Автокорреляция остатков. Критерий Дарбина- Уотсона

 

Для каждого момента (периода) времени t = 1 : N значение компоненты e_t для аддитивной модели определяется как

 

  ,

 

где - сумма циклической и трендовой компонент, а для мультипликативной модели:

 

 

 

где - произведение циклической и трендовой компонент.

 Ошибки измерений нам неизвестны, а известны лишь эмпирические остатки.

Рассматривая последовательность остатков как временной ряд , можно  построить график их зависимости  от времени. В соответствии с предпосылками метода наименьших квадратов остатки e_t должны быть случайными. Однако при моделировании временных рядов часто встречаются ситуация, когда остатки содержат тенденцию или циклические колебания. Это свидетельствует о том, что каждое следующее значение остатков зависит от предшествующих. В этом случае говорят о наличии автокорреляции остатков.

Автокорреляция остатков может быть вызвана следующими причинами, имеющими различную природу. Во-первых, иногда она связана с исходными данными и вызвана наличием ошибок измерения в значениях результативного признака. Во-вторых, в ряде случаев причину автокорреляции остатков следует искать в формулировке модели. Модель может не включать фактор, существенное воздействие на результат, влияние которого отражается в остатках, вследствие чего последние могут оказаться автокоррелированными. Очень часто этим фактором является фактор времени t. Кроме того, в качестве таких существенных факторов могут выступать лаговые значения переменных, включённых в модель.

Либо модель не учитывает  несколько второстепенных факторов, совместное влияние которых на результат существенно в виду совпадения тенденций их изменения или фаз циклических колебаний.

Существует два наиболее распространённых метода определения  автокорреляции остатков. Первый метод – это построение графика зависимости остатков от времени и визуальное определение наличия или отсутствия автокорреляции. Второй метод – использование критерия Дарбина – Уотсона.

Дж. Дарбин и Г. Уотсон построили таблицы, дающие нижние и  верхние пределы порогов значимости. Эти таблицы достаточны для большинства конкретных ситуаций. Рассмотрим логические основания критерия .

Выражение

 

  (1.10.1)

 

представляет собой  «отношение фон Неймана», применённое  к остаткам оценки. Этот критерий имеет эффективность аналогичную таковой для критерия r₁, первого коэффициента автокорреляции остатков. Из предыдущей главы известно, что этот критерий будет особенно мощным, если ошибки следуют авторегрессинному процессу первого порядка. Таким образом, он, по-видимому, хорошо приспособлен для экономических моделей.

Значение d в выборке зависит одновременно от последовательности z_t и от значений e_t( для t = 1,2, . . . ,N). Однако Дарбин и Уотсон показали, что для заданных значений e_t значение d обязательно заключено между двумя границами d _U и d _L , не зависящими от значений, принимаемых z_t , и являющимися функциями лишь чисел N , именно d _L £ d £ d _U.

Для некоторых значений последовательности z_t границы d _U и d _L могут достигаться. Интервал [d _L ,d _U ] является, следовательно, наименьшим из возможных, если не принимать во внимание точные значения z_t.

Границы d _U и d _L представляют случайные величины, распределение которых можно определить с помощью точных гипотез относительно распределения e_t.

Для практического использования  таблицы полученное значение d^* следует сравнить с d₁ и d₂.

а) Если d^* < d₁, то вероятность столь малого значения наверняка меньше a. Гипотеза независимости отбрасывается.

б) Если d^* > d₂, то вероятность столь малого значения наверняка больше a. Гипотеза независимости не отбрасывается.

в) Если d ₁ £ d^* £ d ₂ , то приведённые таблицы оставляют вопрос открытым. Возможно, что гипотезу независимости при уровне значимости a следует отбросить. Однако этого нельзя узнать без изучения закона распределения вероятностей d для последовательности переменных z_t . Практически в этом случае часто довольствуются указанием на то , что значение d^* попадает в область неопределённости критерия.

В настоящее время  принято приводить значение d^* вместе с регрессиями для временных рядов и указывать на расположение этого значения относительно d ₁ и d _{2 .}

Есть несколько существенных ограничений на применение критерия Дарбина – Уотсона.

Во-первых, он неприменим к моделям, включающим в качестве независимых переменных лаговые значения результативного признака, то есть к моделям авторегрессии. Для тестирования на автокорреляцию остатков моделей авторегрессии используется критерий h Дарбина.

Во-вторых, методика расчёта  и использования критерия Дарбина - Уотсона направлена только на выявление автокорреляции остатков первого порядка. При проверке остатков на автокорреляцию более высоких порядков следует применять другие методы.

В-третьих, критерий Дарбина  – Уотсона даёт достоверные результаты только для больших выборок.