Оцінювання якості прогнозів. Комбінування прогнозів

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА №7 (4 години)

Тема: «Оцінювання якості прогнозів. Комбінування прогнозів»

 

1. Теоретичні відомості

1. Критерії точності прогнозів

Найбільш простою мірою  якості прогнозів за умови, що є дані про їхню реалізацію, може стати  відносне число випадків, коли фактична реалізація попадала у довірчий інтервал прогнозу, до загального числа прогнозів, тобто

де m – кількість прогнозів, підтверджених фактичними даними;

n – кількість прогнозів, не підтверджених фактичними даними. Коли всі прогнози підтверджуються, n = 0 і η = 1, якщо ж усі прогнози не підтвердилися, то m і η рівні 0.

Одним із дослідників  проблем економічного прогнозування, Г. Тейлом, запропонований за міру якості прогнозу коефіцієнт розбіжності (або  коефіцієнт невідповідності), чисельником якого є середньоквадратична помилка прогнозу, а знаменник дорівнює квадратному кореню із середнього квадрата реалізації, тобто:

.

Коефіцієнт v = 0, коли всі (випадок ідеального прогнозування); v = 1, коли процес прогнозування призводить до середньоквадратичної помилки "наївної" екстраполяції незмінності приростів; нарешті, v > 1, коли прогноз дає гірші результати, ніж припущення про незмінність досліджуваного явища.

Коефіцієнт невідповідності  може бути використаний при зіставленні  якості прогнозів, одержаних на основі різноманітних методів і моделей, у чому полягає його безсумнівна привабливість.

Іноді коефіцієнт Тейла  розраховують через середньоквадратичне  значення похибки прогнозу приростів:

.

У стандартній статистиці для міри точності прогнозів частіше використовуються такі характеристики:

 − середньоквадратична похибка  прогнозу за n кроків.

 − корінь із середньоквадратичної похибки прогнозу за n кроків.

 − середня абсолютна похибка за n кроків.

 – корінь із середньоквадратичної  похибки у відсотках від фактичних значень за n кроків.

 – середня абсолютна похибка  у відсотках за n кроків.

На практиці ці характеристики використовуються досить часто. Перші  три критерії виражають похибку  у одиницях виміру, тому їх величина залежить від специфіки часового ряду. Останні два критерії вимірюються у відносних одиницях, тому можна говорити про деякий загальний рівень адекватності моделі на основі їх порівняння. Чим меншою є величина критерію похибки, тим краще побудована модель для прогнозування.

 

2. Числові характеристики часових рядів

Для будь-якого часового ряду можна знайти деякі числові  характеристики.

Для аналізу часових  рядів найважливішими є математичне  сподівання, дисперсія, коваріація, кореляція.

Математичне сподівання часового ряду {Y_T} є

 – функція розподілу y_t, t = −∞, …,.∞.

Дисперсія часового ряду {Y_T} визначається за формулою:

.

Нарешті, автоковаріація часового ряду {Y_T} дорівнює:

Для отримання практичних оцінок для часових рядів користуються формулами:

математичне сподівання – ,

дисперсія – ,

автоковаріація j-го порядку .

Часовий ряд є стаціонарним, якщо

1) математичне сподівання Ey_t = µ <∞ для всіх t,

2) дисперсія var(y_t) =γ₀ < ∞ для всіх t ,

3) автоковаріація j-го порядку cov(y_t, y_t−j) = γ_j  < ∞ для всіх t, j = 1,2 , 3,….

Звичайно, жоден з рядів, що представляє реальну економічну інформацію, не може бути ідеально стаціонарним. Але якщо для деякого часового ряду з деяким наближенням виконуються умови стаціонарності, то для його аналізу можна використати широкий спектр методів аналізу та прогнозування стаціонарних часових рядів.

Крім вищенаведених характеристик  при аналіз часових рядів застосовується автокореляція та автокореляційна  функція. Автокореляція j -го порядку визначається за допомогою рівності:

Цей коефіцієнт визначає ступінь залежності між спостереженнями, які знаходяться на відстані j періодів.

Якщо побудувати залежність ρ_j на графіку, то отримаємо корелограму. Вона представляє деяку криву, що показує, як змінюється взаємовплив між спостереженнями в залежності від часу.

 

3. Метод поворотних значень

Під випадковим часовим  рядом будемо розуміти такий ряд, у якому значення є випадковими  незалежними величинами, що мають  один закон розподілу. Якщо вдається показати, що часовий ряд є випадковим, то подальше його дослідження можна припинити, вирахувавши, при необхідності, середнє значення та дисперсію ряду або інші статистичні характеристики.

Одним з методів перевірки часового ряду на випадковість є метод поворотних значень.

Для часового ряду {Y_T} значення y_i є поворотним, якщо y_i−1 < y_i > y_i+1 або y_i−1 > y_i < y_i+1. У першому випадку значення y_i є «піком», у другому –– «впадиною». Зауважимо, що перше й останнє значення не можуть бути поворотними.

Метод поворотних значень зводиться  до підрахунку кількості впадин і  піків у ряду {Y_T} і порівнянні цієї кількості з теоретичним значенням, яке дорівнює математичному сподіванню кількості поворотних точок у «чисто випадковому» ряду, що складається з T спостережень.

Нехай

Математичне сподівання кількості поворотних точок у  випадковому ряді {Y_T}, у силу незалежності x_i, буде дорівнювати:

.

середнє квадратичне  відхилення:

.

Для перевірки гіпотези про випадковість ряду використовується значення:

,

яке порівнюється з теоретичним U_teor. Якщо U_pr < U_teor, то немає підстави відхилити нульову гіпотезу, тобто ми повинні прийняти твердження, що даний ряд випадковий. У протилежному випадку, коли U_pr > U_teor, треба прийняти твердження про невипадковість ряду.

Для найбільш поширених  значень α відповідні величини U_kr наведені у таблиці.

 

1.4. Метод усереднення

Цей метод є одним  з найпростіших, який дозволяє виділити тренд. Для застосування цього методу дослідник повинен мати доволі довгий ряд спостережень. Формально метод  описується виразом:

Для квартальних даних  часового ряду при k₁ = 3, k₂ = 0 формула набуває вигляду

З формули видно, що нова кількість спостережень становить T − k. За допомогою цього методу можна не тільки більш чітко спостерігати трендовий компонент, але й сезонні та випадкові коливання. Для цього треба використовувати мультиплікативну модель часового ряду:

Тоді 

Єдиною складністю є  визначення чисел k₁ та k₂. Як правило, їх сума дорівнює повному циклу сезонності, тобто, наприклад, для квартальних даних – року.

Більш гладкий тренд  дозволяє виділити метод подвійного усереднення, яке двічі використовує усереднення часового ряду. При цьому кількість спостережень зменшується на два повних цикли сезонності, тому для використання методу необхідно мати часовий ряд, який складається щонайменше з 3-х повних циклів сезонності.

 

1.5 Комбінування прогнозів

На практиці дослідники застосовують багато методів прогнозування, користуючись своїми уподобаннями, навичками, володінням програмним забезпеченням, замовленням на застосування визначеної методики тощо.

Звичайно, при використанні будь-якого методу спеціалісти намагаються добитися мінімальної похибки при прогнозуванні. Іноді буває, що один з методів, який добре зарекомендував себе в минулому, дає погані прогнози і навпаки. Щоб застрахуватися від подібних ситуацій, а також поліпшити точність прогнозування необхідно використовувати комбінації прогнозів.

Найбільш відомими є дві методики :

1) дисперсійно-коваріаційний метод,  що дозволяє зводити декілька  незміщених прогнозів в лінійну  комбінацію з найменшою дисперсією, ваги якої залежать від дисперсій та коваріацій похибок прогнозів;

2) регресійний метод, який є  узагальненням дисперсійно-коваріаційного  на випадок зміщеності прогнозів. 

 

1.5.1 Дисперсійно-коваріаційний метод

Нехай існує два незміщених прогнози на період t: F_1t та F_2t. Нехай також дисперсія прогнозів σ₁² та σ₂², коваріація σ₁₂. Новий незміщений прогноз будується за правилом:

.

Дисперсія похибки становитиме:

.

Мінімізуючи вираз по λ, отримаємо

.

Звідси

, де  .

Оскільки  та , то комбінований прогноз є не гіршим, ніж найкращий з двох прогнозів.

На практиці часто значення дисперсій  та коваріацій похибок прогнозу є  невідомими, тому замість них використовують їх оцінки. Таким чином обираються ваги для побудови нового комбінованого прогнозу.

У випадку N прогнозів, N -мірний вектор оптимальних вагів визначається за формулою:

де V – коваріаційна матриця похибок розмірності N × N,

     I – N -мірний вектор одиниць.

З вищесказаного робимо висновок, використання дисперсійно-коваріаційної комбінації є кращою, ніж вибір найкращого з прогнозів з найменшою дисперсією.

 

1.5.2 Регресійний метод

Регресійний метод є  узагальненням попереднього методу, який інтерпретується як оцінка коефіцієнтів регресійного рівняння виду:

.

Новий комбінований прогноз F_t є лінійною комбінацією N прогнозів. Коефіцієнти β_i, i = 0, 2,… N оцінюються за методом найменших квадратів. Якщо всі прогнози є незміщеними, то доданок β₀ можна опустити. В цьому випадку оцінки коефіцієнтів будуть співпадати з оцінками вектора Λ з попереднього методу.

 

1.6 Проблема дезагрегування часових рядів

Більшість макроекономічної інформації подається щоквартально або щорічно. Тому іноді виникає  проблема співставлення таких даних  з іншими, що мають, наприклад, місячну  структуру. Можлива також і така ситуація: для одного чи декількох років не подана щоквартальна розбивка. Таким чином, для того щоб можна було використовувати всю наявну інформацію, необхідно вміти розбивати, наприклад, щорічні дані на квартальні.

Припустимо, що ми розглядаємо часовий ряд {Y_T} з річною структурою даних. Наша задача – утворити новий часовий ряд {X_4T}, який буде відповідати за значення процесу у кварталах кожного року. Очевидно, що така розбивка часового ряду повинна проводитися за умови

.

Розглянемо основні методи, які застосовуються для утворення часового ряду{X_4T}.

 

1.6.1 Процентне відношення

Якщо відома розбивка якогось року по кварталах, то ми можемо використати її для утворення  нового ряду з квартальною структурою. Нехай для деякого року y_τ відомі квартальні значення d_τ1, d_τ2, d_τ3, d_τ4. Тоді новий ряд будується за правилом:

, де  .

Цей метод утворить новий  ряд, який матиме пропорційну структуру. Якщо дослідник має квартальну розбивку по декількох роках, номери яких складають  множину , то

.

Якщо множина S є пустою, тобто невідомо розбивки по кварталах жодного року, то використовується елементарне усереднення:

.

яке виключає сезонні коливання.

 

1.6.2 Поліноміальна інтерполяція

Цей метод спочатку утворює новий ряд за правилом

Ряд {Z_T} представляє собою акумулятивні суми початкового ряду. Після цього, послідовно через чотири точки ряду {Z_T} будується кубічна інтерполяція, тобто знаходяться коефіцієнти функції f(t) = at³ + bt² + ct + d. Наприклад, для розбиття y₃ нам необхідно побудувати інтерполяцію по точках

Тепер підраховуємо значення f(2), f(2.25), f(2.5), f (2.75), f(3).

Тоді 

Зазначимо, що сума

.

 

1.6.3 BFL–FD та BFL–SD методи

Математично цей метод записується у формі:

за умови

Деякою модифікацією є мінімізація суми квадратів других різниць:

за умови

.

 

1.7 Етапи сучасного прогнозування

Сучасне прогнозування  неможливе без широкого поєднання  статистичних методів та експертних оцінок. В останні роки статистичні  методи набули достатньо великого розвитку. Необхідно виділити 5 етапів побудови прогнозів:

1. Постановка задачі.

2. Отримання інформації.

3. Виконання методів  прогнозування.