Решение матричной игры

Решение матричной  игры в чистых стратегиях

Рассмотрим простейшую математическую модель конечной конфликтной ситуации, в которой имеется два участника  и выигрыш одного равен проигрышу  другого. Такая модель называется антагонистической  игрой двух лиц с нулевой суммой. Игра состоит из двух ходов: игрок А выбирает одну из возможных стратегий А_i,  , а игрок В выбирает одну из возможных стратегий В_j,  . Каждый выбор производится при полном незнании выбора соперника. В результате выигрыш игроков составит соответственно a_ij и - a_ij. Цель игрока А - максимизировать величину a_ij, а игрока В - минимизировать эту величину.

Определение 1. Матрица, составленная из величин a_ij,  , , 

 

называется платежной  матрицей, или матрицей игры. Каждый элемент платежной матрицы a_ij,  , равен выигрышу А (проигрышу В), если он выбрал стратегию А_i,  , а игрок В выбирал стратегию В_j,  .

Пример. В игре участвуют первый и второй игроки, каждый из них может записать независимо от другого цифры 1, 2 и 3. Если разность между цифрами, записанная игроками, положительна, то первый игрок выигрывает количество очков, равное разности между цифрами, и, наоборот, если разность отрицательна, то выигрывает второй игрок. Если разность равна нулю, то игра заканчивается вничью.

У первого игрока три стратегии (варианта действия): А₁ (записать 1), А₂ (записать 2), А₃(записать 3); у второго игрока также три стратегии: В₁, В₂, В_{3 (}табл.1).

Таблица 1

	В1 = 1	В2 = 2	В3 = 3
А1 = 1	0	-1	-2
А2 = 2	1	0	-1
А3 = 3	2	1	0

Задача первого игрока - максимизировать свой выигрыш. Задача второго игрока - минимизировать свой проигрыш или минимизировать выигрыш  первого игрока. Платежная матрица  имеет вид

.

Задача каждого из игроков - найти наилучшую стратегию игры, при этом предполагается, что противники одинаково разумны и каждый из них делает все, чтобы получить наибольший доход.

Найдем наилучшую стратегию  первого игрока. Если игрок А выбрал стратегию А_i,  , то в худшем случае (например, если его ход известен В) он получит выигрыш  . Предвидя такую возможность, игрок А должен выбрать такую стратегию, чтобы максимизировать свой минимальный выигрыш.

.

 

Определение 2. Величина a - гарантированный выигрыш игрока А называется нижней ценой игры. Стратегия A_iопт, обеспечивающая получение выигрыша a, называется максиминной.

Если первый игрок будет  придерживаться своей максиминной стратегии, то у него есть гарантия, что он в любом случае выиграет не меньше a.

Аналогично определяется наилучшая стратегия второго  игрока. Игрок В при выборе стратегии В_j,   в худшем случае получит проигрыш  . Он выбирает стратегию B_jопт, при которой его проигрыш будет минимальным и составит

.

Определение 3. Величина b - гарантированный проигрыш игрока В называется верхней ценой игры. Стратегия B_jопт, обеспечивающая получение проигрыша b, называется минимаксной.

Если второй игрок будет  придерживаться своей минимаксной  стратегии, то у него есть гарантия, что он в любом случае проиграет  не больше b.

Фактический выигрыш игрока А (проигрыш игрока В) при разумных действиях партнеров ограничен верхней и нижней ценой игры. Для матричной игры справедливо неравенство a £ b.

Определение 4. Если a = b =v, т.е. 

 

= , 

 

то выигрыш  игрока А (проигрыш игрока В) определяется числом v. Оно называется ценой игры.

Определение 5. Если a = b =v, то такая игра называется игрой с седловой точкой, элемент матрицы а_{iопт jопт} = v, соответствующий паре оптимальных стратегий (A_iопт, B_jопт), называется седловой точкой матрицы. Этот элемент является ценой игры.

Седловой точке соответствуют  оптимальные стратегии игроков. Их совокупность - решение игры, которое  обладает свойством: если один из игроков  придерживается оптимальной стратегии, то второму отклонение от своей оптимальной  стратегии не может быть выгодным.

Определение 6. Если игра имеет седловую точку, то говорят, что она решается в чистых стратегиях.

Найдем решение игры рассмотренного выше примера:

,

a = a_{3 -} нижняя цена игры.

,

b = b_{3 -} верхняя цена игры.

Так как a = b = 0, матрица игры имеет седловую точку.

Оптимальная стратегия первого  игрока - А₃, второго - B₃. Из таблицы видно, что отклонение первого игрока от оптимальной стратегии уменьшает его выигрыш, а отклонение второго игрока отВ₃ увеличивает его проигрыш.

Наличие седловой точки в игре - это далеко не правило, скорее, исключение. Существует разновидность игр, которые всегда имеют седловую точку и, значит, решаются в чистых стратегиях. Это так называемые игры с полной информацией.

Определение 7. Игрой  с полной информацией называется такая игра, в которой каждый игрок  при каждом личном ходе знает всю  предысторию ее развития, т.е. результаты всех предыдущих ходов.

Примерами игр с полной информацией могут служить шашки, шахматы, "крестики-нолики" и т.д.

Теорема 1. Каждая игра с полной информацией имеет седловую точку и, значит, имеет решение в чистых стратегиях.

В каждой игре с полной информацией  существует пара оптимальных стратегий, дающая устойчивый выигрыш, равный цене игры v. Если решение игры известно, сама игра теряет смысл. Например, шахматная игра либо кончается выигрышем белых, либо выигрышем черных, либо ничьей, только чем именно - мы пока не знаем (к счастью для любителей шахмат). Прибавим еще: вряд ли будем знать в обозримом будущем, так как число стратегий так велико, что крайне трудно привести шахматную игру к матричной форме и найти в ней седловую точку. Указать откуда это взялось, т.е. указать ссылки