Парная регрессия. Решение варианта косметика «COSM»

 Гусева Юлиана ЭН-37

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1. ПАРНАЯ РЕГРЕССИЯ.

РЕШЕНИЕ ВАРИАНТА КОСМЕТИКА  «COSM»

 

      ЗАДАНИЕ 1.

Оцените корреляционную матрицу  для переменных dpi, price, time, tax и расходов на выбранный товар. Какие из парных коэффициентов корреляции значимо отличаются от нуля? Дайте интерпретацию парных коэффициентов корреляции.

           

Рассмотрим зависимость  расходов на косметику (cosm) от следующих объясняющих переменных: личный располагаемый доход (dpi), индекс цен (price), время (time), налоги (tax). Прежде всего, выясним, существует ли вообще такая зависимость. Для этого вычислим корреляционную матрицу для всех пяти указанных переменных.

 

 

 

            Посмотрев на последний столбец  этой таблицы, мы видим, что  парные коэффициенты корреляции  между переменной cosm и другими переменными достаточно близки к 1. Это означает, что между переменной cosm и остальными переменными существует положительная линейная зависимость, т.е. при увеличении каждой из этих переменных в отдельности расходы на косметику возрастают. Применительно к личному располагаемому доходу и времени такой вывод вполне согласуется с экономической теорией. Что же касается индекса цен и налогов, то зависимость скорее должна быть обратной: при увеличении этих переменных расходы на косметику должны сокращаться. Положительные знаки соответствующих коэффициентов объясняются тем, что остальные четыре переменных положительно зависят от времени.

        Коэффициент корреляции между расходами на косметику и индексом цен – он близок к -1. Это говорит о том, что зависимость существует и отрицательна. То есть, значения одной переменной убывают, значения другой возрастают.

 

             ЗАДАНИЕ 2

Оцените 4 парных регрессии  расходов на выбранный товар: от dpi, price, tax, time. Дайте интерпретацию коэффициентов каждой регрессии. Что можно сказать о качестве каждой регрессии по виду стандартных ошибок? В каких регрессиях коэффициент при объясняющей переменной значимо отличается от нуля? В каких регрессиях коэффициент детерминации R2 значимо отличается от нуля? Какая регрессия из четырех регрессий является лучшей на Ваш взгляд и почему?

             Оценим четыре парных регрессии  расходов на косметику от личного  располагаемого дохода (dpi), от индекса цен (price), от налогов (tax), от времени (time).

 

Проанализируем полученную таблицу. Интерпретация коэффициентов: коэффициент при переменной dpi показывает, что при увеличении личного располагаемого дохода на 1 миллиард долларов расходы на косметику увеличиваются на 8 миллионов 363 тысячи долларов. Константа в этой регрессии не имеет экономический смысл, она лишь придает начальное значение уравнения (при х=0). Мы видим, что оба коэффициента не значительно отличаются от нуля. Стандартные ошибки больше чем десятая их часть, значит, необходим тест. T-выборочное меньше чем T-критическое, следовательно гипотеза принимается, точность оценки плохая, зависимости нет. Коэффициент детерминации находится в области неопределенности, поэтому требуется его протестировать. Воспользуемся методом сравнения вероятностей.

H0: R2=0

P(F>219.6124) – предельно мала. Она меньше, чем оба уровня значимости = 0,01 и 0,05, а значит, мы отвергаем нулевую гипотезу и считаем, что регрессионные остатки мало влияют на её прогнозируемую оценку. Точность нашего анализа хорошая. Мы видим также, что коэфициент R2 достаточно близок к единице, что подтверждает хорошее качество регрессии.

           Коэффициент при пременной tax в этой таблице показывает, что при увеличении налогов на 1 миллиард долларов расходы на косметику также увеличиваются на 33,461 миллиона долларов. Такой результат можно объяснить тем, что налоги увеличиваются одновременно с доходом, а рост дохода сопровождается ростом потребления. Стандартные ошибки больше чем десятая их часть, значит, необходим тест. T-выборочное больше, чем T-критическое, следовательно гипотеза отклоняется, точность оценки хорошая, зависимости есть.

 

Коэффициент детерминации находится  в области неопределенности, поэтому  требуется его протестировать. Воспользуемся  методом сравнения вероятностей.

H0: R2=0

P(F>219.6124) – предельно  мала. Она меньше, чем оба уровня  значимости = 0,01 и 0,05, а значит, мы  отвергаем нулевую гипотезу и  считаем, что регрессионные остатки  мало влияют на её прогнозируемую  оценку. Точность нашего анализа  хорошая. Мы видим также, что  коэфициент R2 достаточно близок к единице, что подтверждает хорошее качество регрессии.

            Коэффициент при переменной price в этой таблице показывает, что при увеличении индекса цен на один процентный пункт расходы на косметику уменьшаются на 239,526 миллиарда долларов. Стандартные ошибки коэффициентов меньше, чем десятая их часть, что означает хорошую точность оценивания  Коэфициент R2 достаточно близок к единице, что подтверждает хорошее качество регрессии.

             Коэффициент при переменной time в этой регрессии показывает, что в рассматриваемый период расходы на косметику ежегодно увеличивались в среднем на 229,261 миллиона долларов. Константа в этой регрессии также имеет экономический смысл. Она показывает, что расходы на питание в 1958 году составили примерно 3,671 милларда долларов. Стандартные ошибки коэффициентов меньше, чем десятая их часть, что означает хорошую точность оценивания. Коэффициент детерминации находится в области неопределенности, поэтому требуется его протестировать. Воспользуемся методом сравнения вероятностей.

H0: R2=0

P(F>204.0686) – предельно мала. Она меньше, чем оба уровня значимости = 0,01 и 0,05, а значит, мы отвергаем нулевую гипотезу и считаем, что регрессионные остатки мало влияют на её прогнозируемую оценку. Точность нашего анализа хорошая.

              Качество трех регрессий хорошее: все коэффициенты значимо отличаются от нуля при уровне значимости 0,01; все коэффициенты детерминации достаточно близки к 1. Наилучшей следует считать регрессию – регрессию увеличения цен в зависимости от расхода на косметику, поскольку у нее самый высокий коэффициент детерминации.

 

     ЗАДАНИЕ 3

Оцените 2 парных регрессии  логарифма расходов на выбранный  товар: от log dpi, log price. Дайте интерпретацию коэффициентов регрессии. Какая регрессия из двух регрессий является лучшей на Ваш взгляд и почему?

 

           Рассмотрим две логарифмические регрессии: logcosm от logdpi и logcosm от logprice. Таблицы результатов оценивания приведены ниже.

 

            Коэффициет при logdpi в этой регрессии представляет собой эластичность расходов на косметику по доходу. Он показывает, что при увеличении личного располагаемого дохода  на 1% расходы на питание увеличиваются на 1,1%. Стандартные ошибки коэффициентов меньше, чем десятая их часть, что означает хорошую точность оценивания.

             Коэффициент при переменной logprice в этой регрессии – это эластичность спроса на косметику по цене. Он показывает, что при увеличении индекса цен на 1% расходы на питание уменьшаются на 4,62% Стандартные ошибки коэффициентов меньше, чем десятая их часть, что означает хорошую точность оценивания.

             Из этих двух регрессий вторая лучше, так как имеет больший коэффициент детерминации.

 

 

           

 

 

   ЗАДАНИЕ 4

Оцените регрессию логарифма  расходов на выбранный товар от времени. Дайте интерпретацию коэффициентов  регрессии.

 

 Рассмотрим регрессию  логарифма расходов на питание  в зависимости от времени:

 

 

Коэффициент при переменной time в этой регрессии представляет собой абсолютный темп прироста. Он показывает, что в рассматриваемый период темп прироста расходов на косметику составил в среднем 39,13% в год. Стандартные ошибки коэффициентов меньше, чем десятая их часть, что означает хорошую точность оценивания.

Коэфициент R2 в этой регрессии не достаточно близок к 1, поэтому проверим гипотезу Н0: R2 = 0. Для проверки этой гипотезы используется статистика которая имеет распределение Фишера с 1 и n-2 степенями свободы ( в этой формуле R2 обозначает выборочное значение коэффициента детерминации). В данном случае выборочное значение этой статистики равно 115,5. По таблице критических точек распределения Фишера находим критическое значение 7,95 для уровня значимости 0,01. Мы видим, что выборочное значение больше критического, следовательно, гипотеза отклоняется, и коэффициент детерминации значимо отличается от нуля.

 

 

        

    ЗАДАНИЕ 5

 

Для каждой из 7 построенных  регрессий рассчитайте точечный и интервальный прогноз значения расходов на выбранный товар для 1983 года, сравните их со значением, приведенным  в таблице. Какая регрессия из семи регрессий является лучшей на Ваш взгляд и почему?

 

 

       

            Чтобы подсчитать ошибку прогноза, необходимо знать среднее значение  dpi и ее среднее квадратическое отклонение, а также среднее квадратическое отклонение регрессионных остатков.

.

              Результаты вычислений приведем  в таблице

регрессия	Точечный прогноз	Нижняя граница доверительного интервала	Верхняя граница доверительного интервала
Cosm dpi	9,25	8,09	10,41
Cosm tax	8,56	6,98	10,14
Cosm price	31,6	28,76	34,44
Cosm time	9,33	8,19	10,47
Logcosm logdpi	-2,14	-2,72	-1,56
Logcosm logprice	23,78	21,54	26,02
Logcosm time	2,32	2,05	2,59

 

 

               Реальное значение переменной  cosm в 1983 году составило 23,78. Как видим, наиболее точный точечный прогноз получился для регрессии logcosm от logprice, а наиболее точный интервальный прогноз получился для регрессии logcosm от time.