Ньютон и Лейбниц –
создатели математического анализа
Исаак Ньютон (1643 – 1727)
Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 –
1716)
Производная и интеграл
- В конце 17 века в Европе образовались две крупные математические школы. Главой одной из них был Готфрид Вильгельм фон Лейбниц. Его ученики и сотрудники – Лопиталь, братья Бернулли, Эйлер жили и творили на континенте. Вторая школа, возглавляемая Исааком Ньютоном, состояла из английских и шотландских ученых. Обе школы создали новые мощные алгоритмы, приведшие по сути к одним и тем же результатам – к созданию дифференциального и интегрального исчисления.
Происхождение производной
- Ряд задач дифференциального исчисления был решен еще в древности. Такие задачи можно найти у Евклида и у Архимеда, однако основное понятие – понятие производной функции – возникло только в17 веке в связи с необходимостью решить ряд задач из физики, механики и математики, в первую очередь следующих двух: определение скорости прямолинейного неравномерного движения и построения касательной к произвольной плоской кривой.
- Первую задачу: о связи скорости и пути прямолинейно и неравномерно движущейся точки впервые решил Ньютон
Он пришел к формуле
Происхождение производной
- Ньютон пришел к понятию производной, исходя из вопросов механики. Свои результаты в этой области он изложил в трактате «Метод флюксий и бесконечных рядов». Написана работа была в 60-е годы 17 века, однако опубликована после смерти Ньютона. Ньютон не заботился о том, чтобы своевременно знакомить математическую общественность со своими работами.
- Флюксией называлась производная функции – флюэнты.
- Флюэнтой таже в дальнейшем называлась первообразная функция.
Портрет Ньютона художника Русакова.
Мы видим фундаментальной труд
«Математические начала натуральной
философии», в котором Ньютон
изложил закон всемирного тяготения
и три закона механики, ставшие
основой классической механики
Фундаментальный труд Ньютона
«Математические начала натуральной
философии»
(в современном переводе «Математические
основы физики»)
был издан в 1686 году в количестве
300 экземпляров.
Распродан за 4 года, что тогда
считалось очень быстро.
Был летний день. Исаак Ньютон
любил размышлять, сидя в саду,
на открытом воздухе. Предание
сообщает, что размышления Ньютона
были прерваны падением налившегося
яблока.
Так был сформулирован закон
всемирного тяготения
Первые научные опыты Ньютона
связаны с исследованиями света.
В результате многолетней работы
Исаак Ньютон установил, что белый
солнечный луч представляет собой
смесь многих цветов.
Ньютон построил первый зеркальный
телескоп.
Бином Ньютона
- Бино́м Нью́то́на — формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, имеющая вид
- Долгое время считалось, что для натуральных показателей степени эту формулу, как и треугольник, позволяющий находить коэффициенты, изобрёл Блез Паскаль. Однако историки науки обнаружили, что формула была известна ещё в Древнем Китае в XIII веке, а также исламским математикам в XV веке.
- Исаак Ньютон около 1676 года обобщил формулу для произвольного показателя степени (дробного, отрицательного и др.). Из биномиального разложения Ньютон, а позднее и Эйлер, выводили всю теорию бесконечных рядов.
Бином Ньютона
в литературе
- В художественной литературе «бином Ньютона» появляется в нескольких запоминающихся контекстах, где речь идёт о чём-либо сложном.
- В рассказе А. Конан Дойля «Последнее дело Холмса» Холмс говорит о математике профессоре Мориарти:
- «Когда ему исполнился двадцать один год, он написал трактат о биноме Ньютона, завоевавший ему европейскую известность. После этого он получил кафедру математики в одном из наших провинциальных университетов, и, по всей вероятности, его ожидала блестящая будущность»
- Знаменита цитата из «Мастера и Маргариты» М. А. Булгакова: «Подумаешь, бином Ньютона!».
- Позже это же выражение упомянуто в фильме «Сталкер» А. А. Тарковского.
- Бином Ньютона упоминается:
- в повести Льва Толстого «Юность» в эпизоде сдачи вступительных экзаменов в университет Николаем Иртеньевым;
- в романе Е.И.Замятина «Мы».
- в фильме «Расписание на послезавтра»;
Происхождение производной
- В подходе Лейбница к математическому анализу были некоторые особенности. Лейбниц мыслил высший анализ не кинематически, как Ньютон, а алгебраически. Он шел к своему открытию от анализа бесконечно малых величин и теории бесконечных рядов.
- В 1675 году Лейбниц завершает свой вариант математического анализа, тщательно продумывает его символику и терминологию, отражающую существо дела. Почти все его нововведения укоренились в науке и только термин «интеграл» ввёл Якоб Бернулли (1690), сам Лейбниц вначале называл его просто суммой.
Происхождение производной
- По мере развития анализа выяснилось, что символика Лейбница, в отличие от ньютоновской, отлично подходит для обозначения многократного дифференцирования, частных производных и т. д. На пользу школе Лейбница шла и его открытость, массовая популяризация новых идей, что Ньютон делал крайне неохотно.
Работы Лейбница по математике
многочисленны и разнообразны.
В 1666 года он написал первое
сочинение: «О комбинаторном искусстве».
Сейчас комбинаторика и теория
вероятности одна из обязательных
тем математики в школе.
1672 года Лейбниц изобретает
собственную конструкцию арифмометра,
гораздо лучше паскалевской —
он умел выполнять умножение,
деление и извлечение корней.
Предложенные им ступенчатый
валик и подвижная каретка
легли в основу всех последующих
арифмометров.
Лейбниц также описал двоичную
систему счисления с цифрами 0
и 1, на которой основана современная
компьютерная техника.
Кто автор производной?
- Ньютон создал свой метод, опираясь на прежние открытия, сделанные им в области анализа, но в самом главном вопросе он обратился к помощи геометрии и механики. Когда именно Ньютон открыл свой новый метод, в точности неизвестно. По тесной связи этого способа с теорией тяготения следует думать. что он был выработан Ньютоном между 1666 и 1669 годами.
- Лейбниц обнародовав главные результаты своего открытия в 1684, опережая Исаака Ньютона, который еще раньше Лейбница пришел к сходным результатам, но не публиковал их.
- Впоследствии на эту тему возник многолетний спор о приоритете открытия дифференциального исчисления.
Формула Ньютона-Лейбница
Памятник Ньютону в Кэмбридже.
Памятник Лейбницу в Лейпциге.