Моделирование и оптимизация свойств материалов и процессов

В основе методологии построения математических моделей стохастических процессов и зависимостей, отражающих взаимосвязи между данными, полученными экспериментальным путем, лежит теория случайных величин и регрессионный анализ.

К ним относятся управляющие воздействия =(U1,U2,…, Uk,); входные воздействия =(X1,X2,…, Xn,); выходные параметры =(Y1,Y2,…, Ym,).

Далее следует определить подход, на базе которого будет осуществляться построение модели. Теоретический подход влечет за собой построение модели на основе соотношений, вытекающих из физических законов. Этот путь применяется, когда законы известны априори. Формальный подход строится на основе «черного ящика», когда информация о законах протека-ния процесса отсутствует или объект очень сложен и не поддается описанию.

В дальнейшем по имеющейся исходной информации выбирается вид модели. Этот выбор осуществляется на основании требований к объему и качеству исходных данных.

При выборе детерминированных моделей следует отметить ряд преимуществ: их можно разработать даже при отсутствии действующего объекта (например, на стадии проектирования); они качественно более правильно характеризуют процессы, протекающие в объекте, даже при наличии недостаточно точных в количественном отношении параметров модели; они пригодны для прогноза поведения процесса.

Построение стохастических моделей следует осуществлять при неполной информации об объекте из-за его сложности и большого числа подпроцессов, невозможности описать все входы и если влияние ненаблюдаемых переменных на выходные существенно.

Динамические модели дают наиболее полное представление о поведении системы, технологического объекта в динамике. Однако их использование приводит иногда к сложным вычислительным задачам. Поэтому, если можно пренебречь динамикой, применяют статистические модели, которые описывают системы в статике.

В качестве методов экспериментального определения выделяют пассивные и активные методы.

Пассивные методы экспериментального определения предполагают наблюдение за ходом процесса без влияния на процесс.

Активные методы экспериментального определения предусматривают не только наблюдения, но и внесение управляющих воздействий в процесс.

1. Определение подхода
Теоретический		Формальный
2. Выбор вида модели
Детерминированная		Стохастическая
Статическая	Динамическая	Статическая	Динамическая
3. Выбор методов экспериментального  определения
Пассивные		Активные

Рис. 1. Классические подходы к выбору модели

 

Рассмотренные этапы можно представить в виде упрощенной схемы

(рис. 1).

 

2.1 Методы проверки гипотез адекватности структуры модели

 

Об адекватности структуры модели можно судить по коэффициенту корреляции r (корреляционному отношению η), гистограмме распределения остатков и содержательному анализу остатков.

Корреляция – это связь между двумя или несколькими величинами

или исследуемыми объектами. Корреляция бывает двух видов: детерминированная (определяется строгими закономерностями и обычно описывается физико-химическими формулами) и стохастическая (случайная, вероятностная – проявляется в том, что одна из величин влияет на изменение другой изменениями своего закона распределения).

Характеристикой  системы  двух  случайных  величин,  описывающей связь между ними, является коэффициент корреляции

где mx, my  – сокращенное обозначение математического ожидания величины Х и Y, соответственно, mx=M[X], my=M[Y]. Если rxy=0, то корреляционная связь между величинами отсутствует.

Зависимость между случайными величинами называется регрессией. Она понимается как зависимость между математическими ожиданиями этих величин.

Форма  связи  между  случайными  величинами  определяется  линией регрессии, показывающей, как в среднем изменяется величина Y при изменении величины Х, что характеризуют условным математическим ожиданием my/x величины Y, вычисляемым при Х = х. Таким образом, кривая регрессии Y на Х есть зависимость условного математического ожидания Y от известного значения Х.

Задача регрессионного анализа ставится следующим образом: для каждого i-го опыта имеется набор значений входных параметров X1i, X2i, …, Xni и соответствующее этому набору значение выходного параметра Y.

Необходимо определить зависимость выходного параметра Y от входных факторов X1i, X2i, …, Xni, которая в случае, например, линейной связи может иметь следующий вид:

Y = b0 + b1X1 + b2X2 + …+ bnXn.

Такая зависимость называется линейной регрессией. Любая другая зависимость называется нелинейной регрессией.

Задача сводится к тому, чтобы при измеренных во время опытов значениях входных переменных X1, X2, …, Xn и выходной переменной Y определить коэффициенты уравнения регрессии b0, b1, b2, …, bn, которые с определенной степенью вероятности будут отражать влияние аргументов X1, X2, …, Xn на Y.

Регрессионная зависимость вида  Y = f(Xi)  называется однофакторной или парной и описывает связь между двумя переменными: входной Х и выходной Y.

Регрессионная зависимость вида  Y = f(X1, X2, …, Xn) называется многофакторной или множественной и описывает связь между несколькими входными  X1, X2, …, Xn и одной выходной Y.

Построение и исследование регрессионной модели состоит из четырех этапов.

1. Проверка наличия стохастической  связи между исследуемыми величинами. Для этого нужно определить  по значению rxy, существует ли  корреляционная связь между Х  и Y.

2. Выбор вида уравнения  регрессии. Вид уравнения регрессии  выбирается исходя из особенностей  изучаемой системы случайных  величин. Один из возможных подходов  при этом – экспериментальный  подбор типа уравнения регрессии  по соответствующим критериям  адекватности. В случае же, когда  имеется определенная априорная (доопытная) информация об объекте, более эффективным является использование  для этой цели теоретических  представлений о процессах и  типах связей между изучаемыми  параметрами.

3. Расчет параметров (коэффициентов) уравнения регрессии. Для определения  параметров (коэффициентов) уравнения  регрессии используется метод  наименьших квадратов (МНК). Сущность  метода заключается в том, что  выбирается такая линия регрессии, при которой сумма квадратов  разностей между экспериментальными  значениями выходной переменной Yi, полученными на объекте, и значениями, рассчитанными по выбранной регрессионной  формуле (модели) =f(Xi) , будет минимальной:

где q – критерий близости модели и объекта, называемый невязкой модели; n –количество экспериментальных данных.

Задача построения линейной модели сводится к минимизации функции невязки следующего вида:

В качестве нелинейных регрессионных моделей чаще всего используются полиномы разной степени:

4. Проверка адекватности  структуры модели. Об адекватности  структуры модели можно судить  по коэффициенту корреляции r или  корреляционному отношению η, гистограмме  распределения остатков и содержательному анализу остатков модели.

2.2 Математические модели

Определить   зависимость механических свойств латуни ЛН65-5 от степени деформации. Исходный материал – ленты мягкие толщиной 1,6 мм. Спрогнозировать относительное удлинение  δ,  %,и  предел прочности при растяженииσв, кгс/мм2, при деформации на 75 %

Расчет теоретических значений по модели (предел прочности).

Таблица 1 - Экспериментальные данные и расчётные значения

Экспериментальные данные		Расчетные значения
Xi	Yi	Yiтеор.	q=Yi-Yiтеор.
0	30	26,51	3,49
5	34	43,42	-9,42
10	38	55,15	-17,15
15	42	62,975	-20,975
20	41	68,17	-27,17
25	46	72,01	-26,01
30	49	75,77	-26,77
35	52	80,725	-28,725
40	53	88,15	-35,15
45	54	99,32	-45,32
50	58	115,51	-57,51
55	59	137,995	-78,995
60	60	168,05	-108,05
65	61	206,95	-145,95

 

Рисунок 1 - График линии тренда полиномиальной модели

Как видно из рисунка 1 - при деформации на75 % предел прочности σв по прогнозу составит около 65кгс/мм2

 

Проверка модели на адекватность (предел прочности).

Таблица 2 - Данные гистограммы

Карман	Частота	Интегральный %
-145,95	1	7,14%
-121,0433333	0	7,14%
-96,13666667	1	14,29%
-71,23	1	21,43%
-46,32333333	1	28,57%
-21,41666667	6	71,43%
3,49	4	100,00%
Еще	0	100,00%

 

Рисунок 2 - Гистограмма

 

Расчет теоретических значений по модели (относительное удлинение).

Таблица 3 - Экспериментальные данные и расчётные значения

Экспериментальные данные		Расчетные значения
Xi	Yi	Yiтеор.	q=Yi-Yiтеор.
0	65	79,123	-14,123
5	55	28,3805	26,6195
10	42	10,263	31,737
15	35	4,4455	30,5545
20	30	-9,397	39,397
25	22	-51,5895	73,5895
30	19	-142,457	161,457
35	15	-302,3245	317,3245
40	11	-551,517	562,517
45	10	-910,3595	920,3595
50	9	-1399,177	1408,177
55	8	-2038,2945	2046,2945
60	7	-2848,037	2855,037
65	5	-3848,7295	3853,7295

Рисунок 3 - График линии тренда полиномиальной модели

Как видно из рисунка 3 - при деформации на75 %относительное удлинение δ,%,по прогнозу будет около 4.