Автор работы: Пользователь скрыл имя, 27 Февраля 2013 в 09:43, контрольная работа
Задание 11. Построить график функции у =f(x) преобразованием графика функции у = j(x). f(x) = 5x2 – 4x + 11; j (x) =x2
Задание 51. Найти . В пункте д) найти дополнительно . a) y = (l + ctg5x) ·e-2x б) y = · ln2x в) y = (arcsin7x)x-3 г) (x+y)3 + (x-3y)3=0 д)
Задание 71. Определить размеры открытого бассейна с квадратным дном объёмом V так, чтобы на облицовку стен и дна пошло наименьшее количество материала.
Задание 91. Исследовать методами дифференциального исчисления функции и на основании результатов исследования построить их графики.
Задание 11.
Построить график функции у =f(x) преобразованием графика функции
у = j(x).
f(x) = 5x2 – 4x + 11; j (x) =x2
Решение:
Преобразуем данную функцию к виду :
Шаг 1. Построим у =x2
Шаг 2. Построим у =(x – 0,4)2 - движение на 0,4 единицы вправо относительно у =x2 :
Шаг 3. Построим у = 5(x – 0,4)2 - сжатие в 5 раз вдоль оси оу относительно графика функции у =(x – 0,4)2 :
Шаг 4. Построим у = 5(x – 0,4)2 + 10,2 движение на 10,2 единиц вверх по оси Оу относительно у = 5(x – 0,4)2 :
Задание 31.
Найти пределы функций.
a) |
г) |
|
б) |
д) |
|
в) |
e) |
Решение:
a)
б)
в)
г)
д)
e)
Задание 51.
Найти . В пункте д) найти дополнительно .
a) y = (l + ctg5x) ·e-2x б) y = · ln2x в) y = (arcsin7x)x-3
г) (x+y)3 + (x-3y)3=0 д)
Решение:
a) y = (l + ctg5x) ·e-2x
б) y = · ln2x
в) y = (arcsin7x)x-3
г) (x+y)3 + (x-3y)3=0
д)
Первая производная:
Вторая производная:
Задание 71.
Определить размеры открытого бассейна с квадратным дном объёмом V так, чтобы на облицовку стен и дна пошло наименьшее количество материала.
Решение:
Бассейн имеет формулу параллелепипеда с квадратом в основании.
Пусть а – сторона дна, b –высота бассейна, тогда
Тогда
Находим производную:
То есть, размеры бассейна должны быть: сторона основания V/6 , высота V/36.
Задание 91.
Исследовать методами дифференциального исчисления функции и на основании результатов исследования построить их графики.
а) у =
Решение:
а) у =
Область определения функции:
Так как , то функция ни чётная, ни нечётная, функция общего вида.
Найдём точки пересечения с осями координат.
С осью Ох: ,то есть точка:
С осью ОУ: , то есть точка (0,1)
Найдём первую производную:
-2 1 х
Функция убывает на промежутке и возрастает на (-2,1) . Точка х=-2 – точка минимума
Найдём вторую производную:
- -3,5 + 1 + х
Функция выпукла вверх на (- , -3,5) и выпукла вниз на
Х = -3,5– точка перегиба.
Определим вертикальную асимптоту: , значит х = 1 – вертикальная асимптота.
Исследуем функцию на наличие наклонных и горизонтальных асимптот.
Y = kx +b
,
Следовательно, у=0 - горизонтальная асимптота.
Выполним построение:
б) у = ln(x2 - 4)
Область определения функции:
Точки пересечения графика функции с осями координат:
С осью Ох:
,то есть точка:
С осью ОУ точек пересечения нет, так как х = 0 не входит в область определения функции.
Так как , то х = -2 и х = 2 – вертикальные асимптоты.
Исследуем функцию на наличие наклонных и горизонтальных асимптот.
Y = kx +b
, значит асимптот нет.
Найдём первую производную:
- +
Функция убывает на (- ; -2) и возрастает на (2;+ ).
Точек экстремума нет, так как х = 0 не входит в область определения функции.
Найдём вторую производную:
Функция выпуклая на всей области определения, точек перегиба нет.
Выполним построение графика функции: