Апории Зенона

“В последнее время, — утверждает профессор С. А. Богомолов в книге «Актуальная бесконечность», — уточняя понятия анализа, мы удалились от Ньютона. Логическое совершенствование способа пределов вновь привело к торжеству Зеноновых апорий, разве что слова “Ахилл не догонит черепаху” на современный язык перевели бы так: переменная не достигает своего предела”. И далее: “Знаменитые апории Зенона Элейского более 2000 лет привлекают к себе внимание ученых и философов; все снова и снова стараются их опровергнуть... Пройти мимо апорий Зенона, объявив их пустыми софизмами, было бы совершенно неправильно, здесь элейская школа с необыкновенной силой и глубиной критиковала возможность движения, а ведь понятие движения лежит в основе всей нашей техники...

Созданный Ньютоном современный анализ оказался могучим средством и для теоретических и для практических приложений. Между тем аргументы Зенона против основных понятий математики и механики, несмотря на многочисленные попытки их опровергнуть, оставались неопровергнутыми.

Во второй половине XIX столетия, вообще подвергшего основы математики тщательному пересмотру, появились работы немецкого ученого Георга Кантора. Учение Кантора пролило новый свет на апории Зенона и объяснило в них то, что вообще поддается объяснению. Но было бы поспешным утверждать, что оно опровергло их до конца...” Теория множеств Кантора действительно заставила по-новому взглянуть на каверзные апории Зенона. Она выявила качественное различие между бесконечностями. В чем же оно, это различие? Нанесите на листок миллиметровки две точки. Дистанция между ними, очевидно, конечна. Тем не менее ограниченный ими отрезок прямой вмещает в себе бесконечность. И даже не одну.

Поставьте посередине между двумя точками третью. Точно так же поделите надвое каждую из половинок, затем четвертушек, осьмушек и т. д. Все плотнее и плотнее будут ложиться точки. Но вам так и не удастся превратить ваше многоточие в сплошную линию, даже если бы вы каким-то чудом обрели вдруг бессмертие. “Татуирование” бумаги будет длиться вечно. Ибо ни одна из ваших точек-середин не станет последней. Всегда можно сделать следующий шаг — поделить пополам только что полученные отрезочки, сколь бы малы они ни были. Однако предположим, что все бесчисленное множество наших точек-середин уже имеется “в наличии”, так что нам не нужно получать его бесконечным рядом шагов. Получилась вроде бы сплошная линия, без пустых промежутков между точками. Тем не менее мы можем продолжить “иглоукалывание”, но уже иным способом: будем делить первоначальный отрезок не пополам, а на три части, затем на девять частей, двадцать семь и так далее. Мы получим новое бесконечное множество, причем для любой точки этого нового множества найдется место на отрезке, не занятое точками прежнего множества. Такой же результат получится и при делении отрезка на 5 частей, 25, 125 и так далее; на 7, 49 и т. д. Коротенький отрезочек, а способен вместить сколько угодно таких бесконечных множеств! Пусть теперь нам удалось “вытатуировать” на миллиметровке линию, составленную из всех без исключения рациональных точек. Оно будет, как скажет математик, “всюду плотным”. Иначе говоря, на нашем отрезке не найдется такого места, где бы мы не встретили какую-нибудь из точек нашего множества. И тем не менее рациональные точки не покрывают всего отрезка целиком! Не верите? Давайте построим такой квадрат, чтобы его диагональю служил наш отрезок, ограниченный двумя делениями миллиметровки. Возьмем сторону квадрата и уложим ее на диагональ, совместив левые концы отрезков. Тогда правый конец стороны квадрата опять-таки придется аккурат на “вакантное” место! Перед нами иррациональная точка. И таких точек на нашу диагональ можно “перенести” со стороны квадрата сколько угодно. Например, середина стороны квадрата, середины обеих половинок, затем четырех четвертушек и так далее — все это иррациональные точки. Совершенно очевидно, что полученное таким путем множество будет бесконечно большим. Точки, полученные делением стороны квадрата на три, на девять, двадцать семь долек и так далее, тоже окажутся иррациональными и тоже дадут бесконечное множество. Аналогичная процедура осуществима и с остатком диагонали, не прикрытым стороной квадрата. И для любой точки каждого из этих новых бесконечных множеств найдется свое место на отрезке. Место, не занятое рациональными точками! Это выглядит потрясающе: ведь множество рациональных точек всюду плотно — и вдруг содержит “пустоты”, уготованные для иррациональных точек! Неспроста, знать, открытие иррациональных точек, сделанное в глубокой древности, привело в замешательство античных геометров.. И опять-таки никакая интуиция не поможет нам отличить соседние точки — рациональную и иррациональную — или установить порядок их чередования. Абстрактно мыслить, формально описывать подобное геометрическое сообщество (континуум) мы можем, но представить в зримых образах... Математики уверяют, что это вообще недоступно нашей интуиции. А ведь мы каждый день видим континуум! Перекладинка типографской литеры на этой странице, траектория зеноновской стрелы, маршрут Диогена — словом, любой конечный отрезок или бесконечная линия — все это континуумы, непрерывные последовательности всех рациональных и иррациональных точек, взятых в их неразрывной совокупности. И одно из кардинальнейших свойств континуума — его несчетность. Это замечательное открытие принадлежит Кантору. На первый взгляд, тут и открывать-то нечего: раз множество бесконечно, то ясно, что его элементы (числа, точки) не перечтешь. Ан нет, оказывается, есть и счетные множества, даром что бесконечные. Понятно, определение “счетный” здесь до некоторой степени условно. Начав пересчитывать элементы бесконечного множества, мы заранее обрекаем себя на неудачу — эта процедура никогда не закончится. Пересчитать по элементам в буквальном смысле можно лишь конечное множество (по крайней мере в принципе). Но что такое “пересчитать”? Это значит сопоставить элементы какого-то множества числам натурального ряда: 1, 2, 3, 4, 5, 6 ... Именно так поступает педантичный гардеробщик, выдавая по порядку номерки взамен верхней одежды, снимаемой посетителями. При этом устанавливается взаимно однозначное соответствие между номерами жетонов и шляпами (или плащами, галошами, портфелями и так далее). Правда, последовательный пересчет не всегда удобен — даже в случае конечных множеств, “Пойдем, например, на танцплощадку, — иллюстрирует эту мысль доктор физико-математических наук Н. Я. Виленкин в своей брошюре «Рассказы о множествах». — Как узнать, поровну ли здесь юношей и девушек? Конечно, можно попросить юношей отойти в одну сторону, а девушек в другую и заняться подсчетом как тех, так и других. Но нас не интересует, сколько здесь юношей и девушек, а интересует лишь, поровну ли их. Попросим оркестр сыграть какой-нибудь танец. Тогда юноши пригласят девушек, и наша задача будет решена. Ведь если вся молодежь разбилась на танцующие пары, то ясно, что на площадке ровно столько же юношей, сколько и девушек”.

Кантор решил таким же способом сравнить и бесконечные множества. Для этого вовсе не обязательно пересчитывать их по элементам. Достаточно установить взаимно однозначное соответствие между элементами обеих множеств. Так вот, все бесконечные множества, элементам которых можно сопоставить числа натурального ряда, называются счетными. Например, множество всех рациональных чисел (целых и дробных). Теперь естественно ожидать, будто все без исключения бесконечные множества счетны. Нет! Кантор с удивлением открыл и убедительно доказал, что множество всех действительных чисел или точек (рациональных и иррациональных, вместе взятых) неисчислимо. Оно несравнение богаче элементами (обладает большей мощностью), нежели множество одних рациональных точек. Доказать, что множество счетно, значит придумать правило, по которому нумеруются его элементы. Убедиться же в несчетности того или иного множества — это значит, доказать, что такого правила нет и не может быть вообще. Кантор рассуждал так. Допустим, нам удалось найти способ, как перенумеровать все действительные числа, выписав их в виде последовательности. Если теперь найдется хотя бы одно число, не входящее в эту последовательность, значит гипотеза о возможности перенумеровать все действительные числа несостоятельна. И Кантор продемонстрировал такое число! Да не одно, а бесчисленное их множество. И какое бы правило нумерации мы ни придумали, всегда найдется незанумерованный элемент этого множества. Вот какой смысл вкладывается в слова “множество всех точек континуума неисчислимо”. Вот и получается, что у геометрического целого (линии) может появиться совершенно новое качество, отсутствовавшее у его частей — непротяженных, не имеющих размеров точек, когда мощность множества переходит определенный количественный Рубикон. Вспомните линию, составленную из одних рациональных точек! Это множество всюду плотно. Если мы прибегаем к чертежу, то нам и впрямь придется рисовать сплошную линию — иначе не изобразишь множество всех рациональных точек. Но нет, эта линия разрывна. И разрывна в каждой точке! Лишь континуум обладает непрерывностью, сплошностью. Этого, разумеется, не дано было знать Зенону, для которого все точки-нули, равно как и все бесконечности, выглядели “на одно лицо”.

И все же, даже разобравшись в этих премудростях, математики XX века не смогли окончательно отделаться от кошмара зеноновских противоречий, Канторова теория множеств, которая, как считалось, обезвредила апории Зенона, сама оказалась подорванной изнутри таившимися в ней противоречиями.

У английского писателя Лоуренса Стерна есть роман «Жизнь и мнения Тристрама Шенди, джентльмена». Это весьма своеобычный роман. Повествование ведется от первого лица, причем герою понадобилось целых двести пятьдесят страниц, чтобы описать свое появление на свет. Лишь в третьей книге мать Шенди разрешается от бремени Тристрамом, джентльменом, а в шестой маленький джентльмен впервые удостаивается чести быть облаченным в штаны.

О странном литературном персонаже вспоминает не кто иной, как Бертран Рассел. Предположим, говорит английский ученый, какой-нибудь новоявленный Тристрам Шенди будет затрачивать по году на описание каждого дня своей жизни. Сумеет ли он накропать мемуары? Не сумеет, это ясно: человек смертен. А если бы Тристрам Шенди стал вдруг бессмертным? Что тогда? Тогда каждый день найдет свое отражение в его необычной летописи. Другое дело — странное жизнеописание никогда не закончится. Но каждому дню найдется соответствующий год, причем количество дней и количество годов в их нескончаемой череде равны, вернее, равномощны. Это бесконечности одного класса. Точно так же последовательность всех четных чисел равномощна натуральному ряду, включающему и четные и нечетные числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6 и так далее. А натуральный ряд равномощен множеству всех рациональных чисел. Как видно, правило “целое не равно своей части” утрачивает силу в странном мире бесконечного. А вот и другой вывод, еще пуще насмехающийся над немощью человеческой интуиции. Мы уже выяснили: континуум (совокупность всех без исключения точек отрезка) обладает гораздо большей мощностью, нежели редко стоящие на числовой оси метки натурального ряда или даже множество всех рациональных точек, плотное везде. Тем не менее совершенно неожиданным и поистине ошеломляющим выглядит такой Канторов итог: один ли ангстрем, один ли световой год содержат одинаковое “количество” (речь идет о бесконечном множестве) точек. Уму непостижимо, но бесконечная прямая вмещает не больше точек, чем конечный отрезок! И еще один сюрприз: трехмерная фигура (скажем, куб) не богаче точками, чем двумерная (квадрат), а двумерная поверхность — чем просто линия. Целых три года (с 1871 по 1874) Кантор пытался доказать, что взаимно однозначное соответствие между точками отрезка и точками квадрата невозможно. Мучительные поиски долго оставались безуспешными. И вдруг совершенно неожиданно для себя ученый пришел к совершенно противоположному результату! Он проделал то самое построение, которое считал неосуществимым. Потрясенный своим открытием, он написал математику Дедекинду: “Я вижу это, но не верю этому”. А вскоре убедился, что не только квадрат, но и куб равномощен линии...

Этого не знал Зенон. Ньютон тоже. Но это со всей непреложностью доказал Георг Кантор — человек, впервые отважившийся объять необъятное, сосчитать неисчислимое, измерить неизмеримое. Он проник с числом и мерой в таинственный и странный мир, над входом в который красуется кабалистический символ бесконечности. И который исстари вселял в души человеческие мистический хоррор инфинити — ужас перед бесконечным. Беспрецедетное арифметическое беззаконие потрясло математиков. Но это было еще только началом. Теория множеств Кантора оказалась чреватой куда более серьезными парадоксами.

На рубеже XIX и XX столетий выяснилось, что логические рассуждения, которыми оперировал Кантор, ведут к неразрешимым противоречиям. Первый нокаут канторовские построения получили от итальянского ученого Бурали-Форти, сформулировавшего парадокс наибольшего порядкового числа. Однако настоящей сенсацией оказалась знаменитая антиномия Рассела, опубликованная в 1903 году и получившая широкую известность под названием “парадокса брадобрея”.

Солдату приказали стать полковым цирюльником. Приказ строжайше предписывал брить тех и только тех, кто не бреется сам. За невыполнение — смертная казнь. Солдат исправно нес нехитрую службу парикмахера ровно один день. На следующее утро, проведя ладонью по подбородку, он взялся за лезвие и кисточку, чтобы придать своим щекам былой глянец, но... вовремя спохватился. Начни он скоблить собственную щетину, быть ему в числе тех, кто бреется сам. И тогда он в соответствии с грозным распоряжением начальства не должен себя брить. Если же он откажется себя брить, то станет одним из тех, кто сам не бреется и кого как раз он-то и обязан брить! Как же поступить бедняге брадобрею?!

Разумеется, перед нами шутливое иносказание настоящего парадокса. На самом деле формулировка его более строга. Существуют множества, которые могут содержать сами себя в качестве элемента. Назовем их необыкновенными. Вчитайтесь, к примеру, в такое определение: “Множество А включает в себя все множества, которые можно определить предложением, содержащим меньше двадцати слов”. Только что приведенная фраза содержит всего 15 слов. Значит, само множество А тоже является элементом множества А! Разумеется, перед нами курьезное исключение. Большинство совокупностей обыкновенны — не содержат себя в качестве элемента. Давайте пока ограничимся только такими пай-множествами, которые вроде бы не сулят никакого подвоха. И рассмотрим множество всех обыкновенных множеств. Обозначим его буквой М. Предлагается ответить: само М — обыкновенное или необыкновенное? Бесспорно, оно должно быть либо тем, либо другим — третьего не дано. Допустим, что М — обыкновенное множество. Тогда оно должно содержать себя в качестве элемента: ведь М, по определению, множество всех до единого обыкновенных множеств. Но если оно включает самое себя, значит, перед нами необыкновенное множество! Ладно, пусть будет таковым. Стоп... Что же получилось: необыкновенное М входит в множество всех обыкновенных множеств? Но ведь мы же договорились вообще не иметь дела с необыкновенными множествами! М, по определению, не имеет права входить в множество всех и одних только обыкновенных множеств! А уж если оно угодило туда, пусть изволит стать обыкновенным. Остается одно: объявить множество М обыкновенным и... начать сызнова “сказку про белого бычка”. Как видно, в отличие от своего севильского коллеги из бессмертной трилогии “Бомарше” Фигаро лорда Рассела занялся интригами на более высоком уровне — в области логики и математики. Парадоксы теории множеств заставили математику ревизовать свои логические устои.

Как известно, ахиллесовой пятой канторовской теории множеств был ее неконструктивный характер. Кантору ставили в упрек, что он прибегал к доказательству от противного. Он обосновывал истинность фундаментальнейших выводов своей теории не прямо, а косвенно — демонстрируя абсурдность противоположного утверждения. До поры до времени это казалось убедительным. В самом деле, если одно из двух взаимоисключающих предложений ложно, то другое обязательно должно быть истинным. По крайней мере так гласил закон исключенного третьего. Прием редукцио ад абсурдум (приведение к нелепости) широко практиковался в математике со времен Евклида. Но ведь у Рассела в его парадоксе с брадобреем та же логическая процедура, проверенная тысячелетиями, дала осечку! Так почему же, спрашивается, она не могла подвести и Кантора? Неужто и впрямь... “движенья нет”? Во всяком случае, в логике опровергателей Зенона, апеллировавших к построениям Кантора...

Но, быть может, противоречия были порождены чересчур вольной трактовкой понятия “множество”? А если более строго сформулировать требования к смыслу каждого термина, к каждой логической процедуре? И даже попытаться, если удастся, построить “конструктивную” логику, где не будет закона исключенного третьего и доказательств от противного?

Именно такую задачу поставили перед собой математики XX века. А австрийский математик Курт Гёдель намеревался построить исчерпывающую и непротиворечивую теорию чисел (она имеет отношение и к парадоксам Зенона. ведь любое число можно изобразить точкой на отрезке и наоборот — любой точке сопоставить число). Вы думаете, ему это удалось? Как бы не так! Напротив, в 1931 году он доказал теорему: в любой достаточно полной логической системе можно сформулировать предложение, которое невозможно ни доказать, ни опровергнуть логическими средствами этой системы! А непротиворечивость любой системы нельзя доказать средствами этой системы...

Теорема Гёделя легла в основу целого направления в математике и логике. Сама математическая теория, непротиворечивость которой пытаются обосновать, стала предметом изучения особой “надматематической” науки, названной метаматематикой, или теорией доказательств. Какова природа истины? На каких посылках зиждется сам фундамент математики? Какой смысл имеют математические предложения: аксиомы, леммы, теоремы? Какую логическую структуру должны иметь доказательства? Так попытки разрешить парадоксы столкнулись с более широкой проблемой обоснования математики и логики.

Загляните в книгу С. К. Клини «Введение в метаматематику». Поначалу она наверняка отпугнет вас умопомрачительной абракадаброй символов, а потом... Потом, глядишь, и притянет — скорей всего удивительным лаконизмом, элегантной строгостью, а если разобраться, то и простотой своеобычного языка знаков. Языка, которым описываются самые замысловатые умозаключения. Странное, парадоксальное сочетание, не правда ли? Полнокровная проза Сервантеса и анемичные иероглифы математической “стенографии” — ведь это на первый взгляд две вещи столь же несовместные, как гений и злодейство! Ну как втиснуть живую человеческую речь, да не просто речь, а рассуждения, в прокрустово ложе математических формул?