Построение и анализ модель множественной регрессии

 

Таблица В

	Коэффициенты  уравнения регрессии	Стандартная ошибка определения коэффициентов	t-статистика	Вероятность ошибки	Нижние 95%-пределы	Верхние 95%-пределы
	Коэффициенты	Стандартная ошибка		P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересечение	-0,70149	0,811485	-0,86446	0,409786	-2,5372	1,134214
X2	0,069869	0,035925	1,944849	0,083656	-0,0114	0,151138
X3	1,05516	0,334983	3,149891	0,01174	0,297376	1,812944

 

Из таблицы  В следует, что уравнение регрессии  имеет вид:

У = -0,70149 + 0,069869*х2+1,05516*х3

 

 

Дана экономическая интерпретация  коэффициентов модели. Оценить качество построенной модели (индексы корреляции и детерминации, F-критерий Фишера, средняя относительная ошибка аппроксимации). Дана оценка влияния значимых факторов на результат с помощью коэффициентов эластичности, β- и Δ- коэффициентов.

Коэффициент детерминации (индекс детерминации) можно определить из табл. А:

R²_{ух1,х2,….} = 0,952963

Очевидно, что  связь между факторами (х2, х3) и результатом (У) прямая и сильная. Величина R²= 0,952963 показывает долю изменения (вариации) результативного признака под действием факторного признака. Т.е. доля изменения (вариации) результативного признака под воздействием факторного признака равна  95,3 %

Коэффициент множественной  корреляции (индекс корреляции) можно  определить из табл. А:

R_{ух1,х2,….} =

= 0,976198

Проверка значимости уравнения регрессии основана на использовании F-критерии Фишера. Фактическое значение критерия берется из таблицы Б, т. е.

Fфакт = 91,16845

Так как 4,0617= = 91,16845 то уравнение модели регрессии статистически значимо на 95% уровне значимости. Таким образом, связь У с включенным в модель факторами Х2, Х3 существенна.Откуда следует, что уравнение регрессии значимо и при α = 0,05, и α = 0,01.

Уровень точности модели характеризует  степень отклонения в среднем  фактических значений результативной переменнойУ от ее значений, полученных по модели регрессии (предсказанных). Для оценки уровня точности используются различные ошибки:  средняя относительная, стандартная и другие.

Cтандартная ошибка модели выводится в таблице Аотчета по регрессионному анализу.

Регрессионная статистика
Множественный R	0,976198
R-квадрат	0,952963
Нормированный R-квадрат	0,94251
Стандартная ошибка	1,663242
Наблюдения	12

 

Точность модели тем лучше, чем меньше ее стандартная  ошибка (это же имеет место и  при использовании для оценки уровня точности других видов ошибок). Однако, понятие «чем меньше» является относительным и зависит от порядка чисел, представляющих данные задачи. Поэтому модель считается точной, если  стандартная ошибка модели меньше стандартной ошибки (среднеквадратического отклонения) результативного признака Y = 6,936787091. Для нашего примера это условие выполняется

При оценке уровня точности модели на основе средней относительной ошибки, необходимо рассчитать величину = * 4,574059 * 100% = 38,117%,которая показывает, на сколько процентов в среднем фактические значения результативного признака отличаются от рассчитанных по модели (предсказанных). Уровень точности модели считается достаточным, если . В нашем случае уровень точности модели можно оценить как неудовлетворительный.

Учитывая, что коэффициенты регрессии невозможно использовать для непосредственной оценки влияния  факторов на зависимую переменную из-за различия единиц измерения и разной колеблемости факторов, используем коэффициенты эластичности,  бета-коэффициенты, дельта-коэффициенты.

Эластичность: 

,

где – коэффициент регрессии, стоящий перед фактором в уравнении регрессии.Средние значения переменных легко найти с помощью статистической функции Excel СРЗНАЧ.

Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменяется зависимая переменная при изменении фактора на один процент.

Э(х2) = 0,069869* = 0,3820656

Э (х3) = 1,05516*  = 0,70835

Бета-коэффициенты: 

,

где , – среднеквадратические отклонения (стандартные ошибки) соответствующих переменных, которые легко находить с помощью статистической функции СТАНДОТКЛОН.

Бета-коэффициент с математической точки зрения показывает, на какую часть величины среднеквадратического отклонения (СКО) меняется среднее значение зависимой переменной с изменением независимой переменной на одно среднеквадратическое отклонение при фиксированном на постоянном уровне значении остальных независимых переменных.

b (х2) = 0,069869* = 0,3790854

b (х3) = 1,05516*  = 0,613972

Вывод: при изменении каждого из факторов на одно СКО результат У меняется соответственно на 0,3790854 (прямая связь с фактором х2), и на0,613972 своего СКО (прямая связь со вторым фактором х3).

Долю влияния  конкретного фактора в суммарном  влиянии всех факторов можно оценить по величине дельта-коэффициентов: 

,

где – коэффициенты парной корреляции (в силу мультиколлинеарности факторов, воспользуемся коэффициентами частной корреляции) – коэффициент детерминации.

∆_Х2 = 0,949267 * = 0,377615

∆_Х3 = 0,96602 * = 0,622384

Общий вывод: наибольшее влияние наУ оказывает фактор х3

 

4. Построена и проанализирована линейная модель парной регрессии с наиболее значимым фактором. Сравнить качество моделей, построенных в п.п. 3 и 4.

Значения коэффициентов  а = (а₀, а₁), при которых достигается минимум, называются оценками метода наименьших квадратов.

Система нормальных уравнений имеет вид:

Sy = m a₀  + а₁Sx3

Syx3 = a₀Sx3  +а₁Sx3²

Величины  Sy, Sx3, Syx3, Sx3² находятся непосредственно по данным производственных измерений, которые заданы в таблице промежуточных вычислений. 

t	у	х	у*х	х*х	у*у
Республика Алтай	0,8	0,26	0,208	0,0676	0,64
Республика Бурятия	3,1	2,64	8,184	6,9696	9,61
Республика Тыва	0,3	0,28	0,084	0,0784	0,09
Республика Хакасия	1,9	1,78	3,382	3,1684	3,61
Алтайский край	6,7	5,13	34,371	26,3169	44,89
Красноярский край	24	12,43	298,32	154,5049	576
Иркутская обл.	11,4	8,62	98,268	74,3044	129,96
Кемеровская обл.	16,4	11,74	192,536	137,8276	268,96
Новосибирская обл.	9,4	6,05	56,87	36,6025	88,36
Омская обл.	4,8	4,54	21,792	20,6116	23,04
Томская обл.	8,6	5,84	50,224	34,1056	73,96
Читинская обл.	5,7	3,19	18,183	10,1761	32,49
ИТОГО	93,1	62,5	782,422	504,7336	1251,61

Для исходной задачи система нормальных уравнений примет вид:

93,1= 12 * а₀ + 62,5 * а₁

782,422 = 62,5 * а₀ + 504,7336 * а₁

Для построения уравнения линейной регрессии используем функцию «Сервис. Анализ данных. Регрессия» (рис 1).

Задав соответствующие  диапазоны данных в окне,

получим набор  таблиц А, Б, В.

 

 

Таблица А –  регрессионный анализ

Множественный R	0,966019709	Множественный коэффициент корреляции R
R-квадрат	0,933194078	Коэффициент координации R
Нормированный R-квадрат	0,926513485
Стандартная ошибка	1,88045173	Стандартная ошибка определения R
Наблюдения	12	Число наблюдений

 

Таблица Б –  дисперсионный анализ

	Число степеней свободы	дисперсия	Дисперсия на 1 степень свободы	Статистика  Фишера
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	493,9481796	493,9481796	139,6873278	3,37E-07
Остаток	10	35,36098709	3,536098709
Итого	11	529,3091667

 

Таблица В

	Коэффициенты  уравнения регрессии	Стандартная ошибка определения коэффициентов	t-статистика	Вероятность ошибки	Нижние 95%-пределы	Верхние 95%-пределы
	Коэффициенты	Стандартная ошибка		P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересечение	-0,8884583	0,910999635	-0,975256483	0,352434299	-2,91829	1,141375
X3	1,660183994	0,140468103	11,81893937	3,37E-07	1,347202	1,973166

 

Из таблицы  В следует, что уравнение регрессии  имеет вид:

У = -0,8884583 + 1,660183994*х3 

 

Сравним качество моделей, построенных ранее

Вид модели	Коэффициент корреляции	Коэффициент детерминации	Расчетное значение F-критерия Фишера	Значимость F-критерия Фишера
Множественная регрессия  с полным набором факторов	0,982883	0,966059	75,90049	3,22 Е-06
Множественная регрессия  со значимыми факторами  (х2, х3)	0,976198	0,952963	91,16845	1,06 Е-06
Парная корреляция для  У и Х3	0,966019709	0,933194078	139,6873	3,37 Е-07

 

В нашем случае индекс множественной дисперсии  равен наибольшее значения принимает для модели множественной регрессии с полным набором факторов (0,982883). Чем больше значение индекса множественной корреляции (коэффициента детерминации), тем больше роль в изменении результирующей переменной у  тех факторов, которые учтены в модели, т.е. тем лучше линейная модель отражает исходные данные.  В то время как линейная модель отражает исходные данные только на 98,9%.

Очевидно, что  только для модели парной регрессии показателей У и Х3 значение F факт = 139,6873³F_табл = 4,459, т.е. данное уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимо, т.е. принимается гипотеза о неслучайной природе выявленной зависимости и статистической значимости параметров уравнения и показателя тесноты связи. Для остальных моделей F факт несколько ниже, хотя все построенные уравнения регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически незначимы, т.е. гипотеза о неслучайной природе выявленной зависимости и статистической значимости параметров уравнения и показателя тесноты связи не принимается.

5. Осуществлено прогнозирование (точечный прогноз и доверительный интервал прогноза) среднего значения показателя Y при уровне значимости a = 0,1 при условии, что прогнозное значения фактора X составит 80% от его максимального значения (для однофакторной модели).

1) точечный прогноз фактора:

Х3 прогноз = 12,43 * 0,8 = 9,944

2) точечный прогноз (ТП)  показателя  Y:

У = -0,8884583 + 1,660183994*х3=

=  -0,8884583 + 1,6601833994 * 9,944 = 15,62

3) интервальный  прогноз показателя Y:

Вначале находят ошибку прогнозирования